MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmaddnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmgmaddnn0 24798
Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddnn0 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21eldifad 3619 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 dmgmaddnn0.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11391 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
52, 4addcld 10097 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6 eldmgm 24793 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
71, 6sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
87simprd 478 . . 3 (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
92, 4negdi2d 10444 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴𝑁))
109oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴𝑁) + 𝑁))
112negcld 10417 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
1211, 4npcand 10434 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝐴𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1310, 12eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
163adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1715, 16nn0addcld 11393 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
198, 18mtand 692 . 2 (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20 eldmgm 24793 . 2 ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
215, 19, 20sylanbrc 699 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  lgamcvg2  24826  gamp1  24829
  Copyright terms: Public domain W3C validator