MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmfi 8400
Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmfi (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi
StepHypRef Expression
1 fidomdm 8399 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴𝐴)
2 domfi 8337 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpdan 667 1 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cdom 8107  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  fundmfibi  8401  residfi  8403  rnfi  8405  hashfun  13426  hashreshashfun  13428  psgnprfval  18148  gsum2dlem2  18577  gsum2d  18578  tsmsxp  22178  numedglnl  26261  vtxdginducedm1fi  26675  finsumvtxdg2ssteplem2  26677  finsumvtxdg2ssteplem4  26679  finsumvtxdg2sstep  26680  vtxdgoddnumeven  26684  relfi  29753  esum2d  30495  etransclem27  40995
  Copyright terms: Public domain W3C validator