MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmexg 7139
Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmexg (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 6997 . 2 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 uniexg 6997 . 2 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3 ssun1 3809 . . . 4 dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4 dmrnssfld 5416 . . . 4 (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ 𝐴
53, 4sstri 3645 . . 3 dom 𝐴 𝐴
6 ssexg 4837 . . 3 ((dom 𝐴 𝐴 𝐴 ∈ V) → dom 𝐴 ∈ V)
75, 6mpan 706 . 2 ( 𝐴 ∈ V → dom 𝐴 ∈ V)
81, 2, 73syl 18 1 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607   cuni 4468  dom cdm 5143  ran crn 5144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154
This theorem is referenced by:  dmex  7141  iprc  7143  exse2  7147  xpexr2  7149  xpexcnv  7150  soex  7151  cnvexg  7154  coexg  7159  dmfex  7166  cofunexg  7172  offval3  7204  opabn1stprc  7272  suppval  7342  funsssuppss  7366  suppss  7370  suppssov1  7372  suppssfv  7376  tposexg  7411  tfrlem12  7530  tfrlem13  7531  erexb  7812  f1vrnfibi  8292  oion  8482  unxpwdom2  8534  wemapwe  8632  imadomg  9394  fpwwe2lem3  9493  fpwwe2lem12  9501  fpwwe2lem13  9502  hashfn  13202  hashdmpropge2  13303  fundmge2nop0  13312  fun2dmnop0  13314  trclexlem  13779  relexp0g  13806  relexpsucnnr  13809  o1of2  14387  prdsplusg  16165  prdsmulr  16166  prdsvsca  16167  prdshom  16174  isofn  16482  ssclem  16526  ssc2  16529  ssctr  16532  subsubc  16560  resf1st  16601  resf2nd  16602  funcres  16603  efgrcl  18174  dprddomprc  18445  dprdval0prc  18447  dprdgrp  18450  dprdf  18451  dprdssv  18461  subgdmdprd  18479  dprd2da  18487  f1lindf  20209  decpmatval0  20617  pmatcollpw3lem  20636  ordtbaslem  21040  ordtuni  21042  ordtbas2  21043  ordtbas  21044  ordttopon  21045  ordtopn1  21046  ordtopn2  21047  ordtrest2lem  21055  ordtrest2  21056  txindislem  21484  ordthmeolem  21652  ptcmplem2  21904  tuslem  22118  mbfmulc2re  23460  mbfneg  23462  dvnff  23731  dchrptlem3  25036  structgrssvtxlemOLD  25960  vtxdgf  26423  gsummpt2d  29909  ofcfval3  30292  braew  30433  omsval  30483  sibfof  30530  sitmcl  30541  cndprobval  30623  bdayval  31926  noextend  31944  bdayfo  31953  tailf  32495  tailfb  32497  ismgmOLD  33779  dfcnvrefrels2  34416  dfcnvrefrels3  34417  rclexi  38239  rtrclexlem  38240  trclubgNEW  38242  cnvrcl0  38249  dfrtrcl5  38253  relexpmulg  38319  relexp01min  38322  relexpxpmin  38326  unidmex  39531  dmexd  39736  caragenval  41028  omecl  41038  caragenunidm  41043  offval0  42624
  Copyright terms: Public domain W3C validator