Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2lem 18490
 Description: Lemma for dmdprdsplit 18492. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
32eleq2d 2716 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼𝑌 ∈ (𝐶𝐷)))
4 elun 3786 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷))
53, 4syl6bb 276 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
76ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 3809 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 1syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
12 fdm 6089 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1413ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
15 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
16 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑌𝐶)
17 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
18 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
197, 14, 15, 16, 17, 18dprdcntz 18453 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)))
20 fvres 6245 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
2120ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
22 fvres 6245 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2322ad2antrl 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2423fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2519, 21, 243sstr3d 3680 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2625exp32 630 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐶 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
2720ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
286ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
2913ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
30 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
3128, 29, 30dprdub 18470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3227, 31eqsstr3d 3673 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
33 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
3433ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
35 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3635dprdssv 18461 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
37 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
3837ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
39 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
4039ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
41 ssun2 3810 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4241, 1syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝐼)
438, 42fssresd 6109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
44 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
47 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
4840, 46, 47dprdub 18470 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4938, 48eqsstr3d 3673 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5035, 18cntz2ss 17811 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5136, 49, 50sylancr 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5234, 51sstrd 3646 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5332, 52sstrd 3646 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5453exp32 630 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐷 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
5526, 54jaod 394 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐶𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
565, 55sylbid 230 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
57 dprdgrp 18450 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
586, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
6035subgacs 17676 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
61 acsmre 16360 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
6259, 60, 613syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
63 difundir 3913 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋}))
642difeq1d 3760 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}))
65 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
6665snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → {𝑋} ⊆ 𝐶)
67 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} ⊆ 𝐶 → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
69 incom 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
70 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐶𝐷) = ∅)
7269, 71syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷𝐶) = ∅)
73 sseq0 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶) ∧ (𝐷𝐶) = ∅) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
7468, 72, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
75 disj3 4054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7674, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7776uneq2d 3800 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋})))
7863, 64, 773eqtr4a 2711 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷))
7978imaeq2d 5501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)))
80 imaundi 5580 . . . . . . . . 9 (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8179, 80syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
8281unieqd 4478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
83 uniun 4488 . . . . . . 7 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8482, 83syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
85 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
86 difss 3770 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶
87 imass2 5536 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
88 uniss 4490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶)
90 imassrn 5512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) ⊆ ran 𝑆
91 frn 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
928, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
94 mresspw 16299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9562, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9693, 95sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9790, 96syl5ss 3647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
98 sspwuni 4643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9997, 98sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
10089, 99syl5ss 3647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺))
10162, 85, 100mrcssidd 16332 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
102 imassrn 5512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) ⊆ ran 𝑆
103102, 96syl5ss 3647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
104 sspwuni 4643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
105103, 104sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
10662, 85, 105mrcssidd 16332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐷)))
10785dprdspan 18472 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
10839, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
109 df-ima 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
110109unieqi 4477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
111110fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷))
112108, 111syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
113112adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
114106, 113sseqtr4d 3675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
115 unss12 3818 . . . . . . . 8 (( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
116101, 114, 115syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11785mrccl 16318 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11862, 100, 117syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
119 dprdsubg 18469 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12039, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
121120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
122 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
123122lsmunss 18119 . . . . . . . 8 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
124118, 121, 123syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
125116, 124sstrd 3646 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12684, 125eqsstrd 3672 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12789a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
12862, 85, 127, 99mrcssd 16331 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐶)))
12985dprdspan 18472 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
1306, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
131 df-ima 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
132131unieqi 4477 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
133132fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (𝐾 (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶))
134130, 133syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
135134adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
136128, 135sseqtr4d 3675 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
13733adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
138136, 137sstrd 3646 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
139122, 18lsmsubg 18115 . . . . . 6 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140118, 121, 138, 139syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14185mrcsscl 16327 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
14262, 126, 140, 141syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
143 sslin 3872 . . . 4 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
144142, 143syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
14510sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐼)
1468ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐼) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
147145, 146syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
148 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
14920adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
1506adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
15113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
152150, 151, 65dprdub 18470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
153149, 152eqsstr3d 3673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
154 dprdsubg 18469 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1556, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
156155adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
157122lsmlub 18124 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
158147, 118, 156, 157syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
159153, 136, 158mpbi2and 976 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
160 ssrin 3871 . . . . . . 7 (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
161159, 160syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
162 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
163162adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
164161, 163sseqtrd 3674 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
165122lsmub1 18117 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
166147, 118, 165syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
167148subg0cl 17649 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
168147, 167syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
169166, 168sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
170148subg0cl 17649 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
171121, 170syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
172169, 171elind 3831 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
173172snssd 4372 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → { 0 } ⊆ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
174164, 173eqssd 3653 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
175 resima2 5467 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
17686, 175mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
177176unieqd 4478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
178177fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) = (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
179149, 178ineq12d 3848 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
180150, 151, 65, 148, 85dprddisj 18454 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
181179, 180eqtr3d 2687 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
1828adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
183 ffun 6086 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
184 funiunfv 6546 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
185182, 183, 1843syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
1866ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
18713ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
188 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝐶)
189188adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝐶)
190 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑋𝐶)
191 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝑋)
192191adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝑋)
193186, 187, 189, 190, 192, 18dprdcntz 18453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)))
194 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
195189, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
19620ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
197196fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)) = (𝑍‘(𝑆𝑋)))
198193, 195, 1973sstr3d 3680 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
199198ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
200 iunss 4593 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
201199, 200sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
202185, 201eqsstr3d 3673 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20335subgss 17642 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
204147, 203syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
20535, 18cntzsubg 17815 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20659, 204, 205syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20785mrcsscl 16327 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∧ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20862, 202, 206, 207syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20918, 118, 147, 208cntzrecd 18137 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
210122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209lsmdisj3 18142 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) = { 0 })
211144, 210sseqtrd 3674 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 })
21256, 211jca 553 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Moorecmre 16289  mrClscmrc 16290  ACScacs 16292  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794  LSSumclsm 18095   DProd cdprd 18438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-dprd 18440 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  18491
 Copyright terms: Public domain W3C validator