Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2 18653
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2 dmdprdsplit.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2771 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
5 dprdgrp 18612 . . 3 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdsplit.u . . 3 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 3927 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 7syl5sseqr 3803 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6211 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
12 fdm 6191 . . . . . 6 ((𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
144, 13dprddomcld 18608 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
15 dmdprdsplit2.2 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
16 ssun2 3928 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1716, 7syl5sseqr 3803 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
188, 17fssresd 6211 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
19 fdm 6191 . . . . . 6 ((𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
2115, 20dprddomcld 18608 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
22 unexg 7106 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐶𝐷) ∈ V)
2314, 21, 22syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ V)
247, 23eqeltrd 2850 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
257eleq2d 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
26 elun 3904 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2725, 26syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
28 dprdsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
29 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
30 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
318, 28, 7, 1, 2, 4, 15, 29, 30, 3dmdprdsplit2lem 18652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
32 incom 3956 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
3332, 28syl5eqr 2819 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐶) = ∅)
34 uncom 3908 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
357, 34syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐷𝐶))
36 dprdsubg 18631 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
374, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
38 dprdsubg 18631 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3915, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
401, 37, 39, 29cntzrecd 18298 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
41 incom 3956 . . . . . . . . 9 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
4241, 30syl5eqr 2819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) = { 0 })
438, 33, 35, 1, 2, 15, 4, 40, 42, 3dmdprdsplit2lem 18652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4431, 43jaodan 938 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4544simpld 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))))
4645ex 397 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
4727, 46sylbid 230 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
48473imp2 1442 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
4927biimpa 462 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
5031simprd 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5143simprd 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5250, 51jaodan 938 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5349, 52syldan 579 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
541, 2, 3, 6, 24, 8, 48, 53dmdprdd 18606 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 834   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  {csn 4316  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786  dom cdm 5249   ↾ cres 5251   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0gc0g 16308  mrClscmrc 16451  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955   DProd cdprd 18600 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-dprd 18602 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  18654  pgpfaclem1  18688
 Copyright terms: Public domain W3C validator