Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit 18666
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 fdm 6212 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
6 ssun1 3919 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
7 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
96, 8syl5sseqr 3795 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶𝐼)
101, 5, 9dprdres 18647 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1110simpld 477 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
12 ssun2 3920 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1312, 8syl5sseqr 3795 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷𝐼)
141, 5, 13dprdres 18647 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1514simpld 477 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
1611, 15jca 555 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)))
17 dprdsplit.i . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
1817adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶𝐷) = ∅)
19 dmdprdsplit.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
201, 5, 9, 13, 18, 19dprdcntz2 18657 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
21 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
221, 5, 9, 13, 18, 21dprddisj2 18658 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
2316, 20, 223jca 1123 . 2 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 }))
242adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2517adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐶𝐷) = ∅)
267adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
27 simpr1l 1291 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
28 simpr1r 1293 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
29 simpr2 1236 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
30 simpr3 1238 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
3124, 25, 26, 19, 21, 27, 28, 29, 30dmdprdsplit2 18665 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3223, 31impbida 913 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0gc0g 16322  SubGrpcsubg 17809  Cntzccntz 17968   DProd cdprd 18612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-dprd 18614 This theorem is referenced by:  dprdsplit  18667  dmdprdpr  18668  dpjcntz  18671  dpjdisj  18672
 Copyright terms: Public domain W3C validator