MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdpr 18494
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 dprdsn 18481 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
41, 2, 3sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
54simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 xpscf 16273 . . . . . . . 8 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
82, 6, 7sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ffn 6083 . . . . . . 7 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
111prid1 4329 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
12 df2o3 7618 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1311, 12eleqtrri 2729 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
14 fnressn 6465 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
1510, 13, 14sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
16 xpsc0 16267 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
1817opeq2d 4440 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
1918sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
2015, 19eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
215, 20breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}))
22 1on 7612 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
23 dprdsn 18481 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2422, 6, 23sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2524simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
2622elexi 3244 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
2726prid2 4330 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
2827, 12eleqtrri 2729 . . . . . 6 1𝑜 ∈ 2𝑜
29 fnressn 6465 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
3010, 28, 29sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
31 xpsc1 16268 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
326, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
3332opeq2d 4440 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
3433sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3530, 34eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3625, 35breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))
37 1n0 7620 . . . . . . . . 9 1𝑜 ≠ ∅
3837necomi 2877 . . . . . . . 8 ∅ ≠ 1𝑜
39 disjsn2 4279 . . . . . . . 8 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
41 df-pr 4213 . . . . . . . . 9 {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
4212, 41eqtri 2673 . . . . . . . 8 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 18492 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
47 3anass 1059 . . . . . 6 (((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
4846, 47syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
4948baibd 968 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5049ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
5121, 36, 50mp2and 715 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5220oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
534simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
5452, 53eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
5535oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
5624simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5755, 56eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
5857fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑍𝑇))
5954, 58sseq12d 3667 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
6054, 57ineq12d 3848 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆𝑇))
6160eqeq1d 2653 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 }))
6259, 61anbi12d 747 . 2 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
6351, 62bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  cres 5145  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   +𝑐 ccda 9027  0gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdpr  18495
  Copyright terms: Public domain W3C validator