Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdd 18598
 Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0 0 = (0g𝐺)
dmdprd.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2 (𝜑𝐼𝑉)
dmdprdd.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
dmdprdd.5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdd (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd
StepHypRef Expression
1 dmdprdd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 dmdprdd.3 . 2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 eldifsn 4462 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑦𝑥))
4 necom 2985 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
54anbi2i 732 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑦𝑥) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
63, 5bitri 264 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
7 dmdprdd.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
873exp2 1448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
98imp4b 614 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼𝑥𝑦) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
106, 9syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
1110ralrimiv 3103 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
12 dmdprdd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
132ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 dmdprd.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
1514subg0cl 17803 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
171adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgacs 17830 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20 acsmre 16514 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2117, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22 imassrn 5635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
23 frn 6214 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2622, 25syl5ss 3755 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
27 mresspw 16454 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2926, 28sstrd 3754 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
30 sspwuni 4763 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
3129, 30sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
32 dmdprd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
3332mrccl 16473 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3421, 31, 33syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3514subg0cl 17803 . . . . . . . 8 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3716, 36elind 3941 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3837snssd 4485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3912, 38eqssd 3761 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
4011, 39jca 555 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
4140ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
42 dmdprdd.2 . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
43 fdm 6212 . . . 4 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
442, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
45 dmdprd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4645, 14, 32dmdprd 18597 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
4742, 44, 46syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
481, 2, 41, 47mpbir3and 1428 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  0gc0g 16302  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948   DProd cdprd 18592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-dprd 18594 This theorem is referenced by:  dprdss  18628  dprdz  18629  dprdf1o  18631  dprdsn  18635  dprd2da  18641  dmdprdsplit2  18645  ablfac1b  18669
 Copyright terms: Public domain W3C validator