HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdmd 29439
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3755 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 6808 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)))
32ineq1d 3944 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4 oveq1 6808 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
53, 4eqeq12d 2763 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
61, 5imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
76rspccv 3434 . . . . 5 (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8 choccl 28445 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
98imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
109com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
1110adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12 chsscon3 28639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1312biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1413adantll 752 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15 fveq2 6340 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16 choccl 28445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
17 chjcl 28496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
188, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C𝐴C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
19 chdmm3 28666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
2018, 19sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
21 chdmj4 28671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2322oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2420, 23eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2524anasss 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
26 choccl 28445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
27 chincl 28638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
2816, 26, 27syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
29 chdmj2 28669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
3028, 29sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31 chdmm4 28667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3332ineq2d 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3430, 33eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3525, 34eqeq12d 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3635ancoms 468 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3715, 36syl5ib 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3814, 37imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
3911, 38syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
4039ex 449 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4140com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
427, 41syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4342ralrimdv 3094 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
44 sseq2 3756 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵𝑥𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45 ineq1 3938 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
4645oveq1d 6816 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
47 ineq1 3938 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))
4846, 47eqeq12d 2763 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
4944, 48imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5049rspccv 3434 . . . . 5 (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
51 choccl 28445 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
5251imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5453adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
55 chsscon2 28641 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
5655biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
5756adantll 752 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58 fveq2 6340 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
59 chincl 28638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑦) ∈ C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
6051, 59sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
61 chdmj1 28668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6260, 61sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63 chdmm2 28665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6564ineq1d 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6662, 65eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6766anasss 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68 chjcl 28496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
69 chdmm2 28665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
7068, 69sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
71 chdmj1 28668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7372oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7470, 73eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7567, 74eqeq12d 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7675ancoms 468 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7758, 76syl5ib 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7857, 77imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7954, 78syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8079ex 449 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8180com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8250, 81syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8382ralrimdv 3094 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8443, 83impbid 202 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
85 mdbr 29433 . . 3 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8616, 26, 85syl2an 495 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87 dmdbr 29438 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
8884, 86, 873bitr4rd 301 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  cin 3702  wss 3703   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801   C cch 28066  cort 28067   chj 28070   𝑀 cmd 28103   𝑀* cdmd 28104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cc 9420  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179  ax-hilex 28136  ax-hfvadd 28137  ax-hvcom 28138  ax-hvass 28139  ax-hv0cl 28140  ax-hvaddid 28141  ax-hfvmul 28142  ax-hvmulid 28143  ax-hvmulass 28144  ax-hvdistr1 28145  ax-hvdistr2 28146  ax-hvmul0 28147  ax-hfi 28216  ax-his1 28219  ax-his2 28220  ax-his3 28221  ax-his4 28222  ax-hcompl 28339
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-lm 21206  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cfil 23224  df-cau 23225  df-cmet 23226  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-gdiv 27630  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-vs 27734  df-nmcv 27735  df-ims 27736  df-dip 27836  df-ssp 27857  df-ph 27948  df-cbn 27999  df-hnorm 28105  df-hba 28106  df-hvsub 28108  df-hlim 28109  df-hcau 28110  df-sh 28344  df-ch 28358  df-oc 28389  df-ch0 28390  df-shs 28447  df-chj 28449  df-md 29419  df-dmd 29420
This theorem is referenced by:  mddmd  29440  ssdmd1  29452  mdsldmd1i  29470  cvdmd  29476  dmdsym  29552  cmdmdi  29556
  Copyright terms: Public domain W3C validator