Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatsubcl 20522
 Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matgrp 20453 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
32adantr 466 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝐴 ∈ Grp)
4 dmatid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 dmatid.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
6 dmatid.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 4, 5, 6dmatmat 20518 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝐷𝑋𝐵))
87imp 393 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝐷) → 𝑋𝐵)
98adantrr 696 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑋𝐵)
101, 4, 5, 6dmatmat 20518 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝐷𝑌𝐵))
1110imp 393 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐷) → 𝑌𝐵)
1211adantrl 695 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑌𝐵)
13 eqid 2771 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
144, 13grpsubcl 17703 . . 3 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
153, 9, 12, 14syl3anc 1476 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
16 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1716adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
197, 10anim12d 596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2019imp 393 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
2120adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
22 simpr 471 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
23 eqid 2771 . . . . . . . 8 (-g𝑅) = (-g𝑅)
241, 4, 13, 23matsubgcell 20457 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
2518, 21, 22, 24syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
2625adantr 466 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
27 simpll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
28 simprl 754 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑋𝐷)
2927, 17, 283jca 1122 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
3029adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
3130adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
32 simplrl 762 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑁)
33 simplrr 763 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑁)
34 simpr 471 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑗)
351, 4, 5, 6dmatelnd 20520 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁𝑖𝑗)) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
3631, 32, 33, 34, 35syl13anc 1478 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
37 simprr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑌𝐷)
3827, 17, 373jca 1122 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
3938adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
4039adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
411, 4, 5, 6dmatelnd 20520 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁𝑖𝑗)) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
4240, 32, 33, 34, 41syl13anc 1478 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
4336, 42oveq12d 6814 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) = ( 0 (-g𝑅) 0 ))
44 ringgrp 18760 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
45 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4645, 5ring0cl 18777 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4744, 46jca 501 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
4847adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
4945, 5, 23grpsubid 17707 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5150ad3antrrr 709 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5226, 43, 513eqtrd 2809 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 )
5352ex 397 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
5453ralrimivva 3120 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
551, 4, 5, 6dmatel 20517 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
5655adantr 466 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
5715, 54, 56mpbir2and 692 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  Ringcrg 18755   Mat cmat 20430   DMat cdmat 20512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431  df-dmat 20514 This theorem is referenced by:  dmatsgrp  20523
 Copyright terms: Public domain W3C validator