MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatsgrp 20523
Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))

Proof of Theorem dmatsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 dmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 dmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4 dmatid.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
51, 2, 3, 4dmatmat 20518 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
65ancoms 455 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑧𝐷𝑧𝐵))
76ssrdv 3758 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷𝐵)
81, 2, 3, 4dmatid 20519 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
98ancoms 455 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r𝐴) ∈ 𝐷)
10 ne0i 4069 . . 3 ((1r𝐴) ∈ 𝐷𝐷 ≠ ∅)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ≠ ∅)
121, 2, 3, 4dmatsubcl 20522 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1312ancom1s 632 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
1413ralrimivva 3120 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)
151matring 20466 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1615ancoms 455 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Ring)
17 ringgrp 18760 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
18 eqid 2771 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
192, 18issubg4 17821 . . 3 (𝐴 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
2016, 17, 193syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ↔ (𝐷𝐵𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐷)))
217, 11, 14, 20mpbir3and 1427 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723  c0 4063  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796  1rcur 18709  Ringcrg 18755   Mat cmat 20430   DMat cdmat 20512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-dmat 20514
This theorem is referenced by:  dmatsrng  20525  scmatsgrp1  20546
  Copyright terms: Public domain W3C validator