MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatscmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatscmcl 20507
Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatscmcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
dmatscmcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatscmcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatscmcl.s = ( ·𝑠𝐴)
dmatscmcl.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatscmcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatscmcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 811 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → 𝐶𝐾)
2 dmatscmcl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 dmatscmcl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2756 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 dmatscmcl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
62, 3, 4, 5dmatmat 20498 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐷𝑀𝐵))
76com12 32 . . . . . 6 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀𝐵))
87adantl 473 . . . . 5 ((𝐶𝐾𝑀𝐷) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀𝐵))
98impcom 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → 𝑀𝐵)
101, 9jca 555 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
11 dmatscmcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
12 dmatscmcl.s . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
1311, 2, 3, 12matvscl 20435 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐵)
1410, 13syldan 488 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐵)
152, 3, 4, 5dmatel 20497 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐷 ↔ (𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
1615adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (𝑀𝐷 ↔ (𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
17 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝐶𝐾)
1918anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
2217, 20, 213jca 1123 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
2322adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
24 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
252, 3, 11, 12, 24matvscacell 20440 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
27 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅) → (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)))
2827adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)))
29 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3029anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾))
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾))
3211, 24, 4ringrz 18784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3433adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3534adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3626, 28, 353eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))
3736ex 449 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))
3837imim2d 57 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
3938ralimdvva 3098 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
4039expimpd 630 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → ((𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
4116, 40sylbid 230 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (𝑀𝐷 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
4241impr 650 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))
432, 3, 4, 5dmatel 20497 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))))
4443adantr 472 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))))
4514, 42, 44mpbir2and 995 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  Basecbs 16055  .rcmulr 16140   ·𝑠 cvsca 16143  0gc0g 16298  Ringcrg 18743   Mat cmat 20411   DMat cdmat 20492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-sup 8509  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-hom 16164  df-cco 16165  df-0g 16300  df-prds 16306  df-pws 16308  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-subg 17788  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-sra 19370  df-rgmod 19371  df-dsmm 20274  df-frlm 20289  df-mat 20412  df-dmat 20494
This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  20512
  Copyright terms: Public domain W3C validator