Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmatbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatbas 42702
 Description: The set of all 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over (the ring) 𝑅 is the base set of the algebra of 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over (the ring) 𝑅. (Contributed by AV, 8-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatbas.0 0 = (0g𝑅)
dmatbas.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatbas ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐷 = (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)))

Proof of Theorem dmatbas
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 dmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 dmatbas.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 dmatbas.d . . 3 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
51, 2, 3, 4dmatval 20500 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐷 = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
6 elex 3352 . . 3 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
7 eqid 2760 . . . 4 (𝑁 DMatALT 𝑅) = (𝑁 DMatALT 𝑅)
81, 2, 3, 7dmatALTbas 42700 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)) = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
96, 8sylan2 492 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)) = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
105, 9eqtr4d 2797 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐷 = (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Mat cmat 20415   DMat cdmat 20496   DMatALT cdmatalt 42695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-nn 11213  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-dmat 20498  df-dmatalt 42697 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator