HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjrnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmadjrnb 28735
Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6205.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjrnb (𝑇 ∈ dom adj ↔ (adj𝑇) ∈ dom adj)

Proof of Theorem dmadjrnb
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 28724 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 ax-hv0cl 27830 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
32n0ii 3914 . . . . . . . 8 ¬ ℋ = ∅
4 eqcom 2627 . . . . . . . 8 (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
53, 4mtbir 313 . . . . . . 7 ¬ ∅ = ℋ
6 dm0 5328 . . . . . . . 8 dom ∅ = ∅
76eqeq1i 2625 . . . . . . 7 (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
85, 7mtbir 313 . . . . . 6 ¬ dom ∅ = ℋ
9 fdm 6038 . . . . . 6 (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
108, 9mto 188 . . . . 5 ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11 dmadjop 28717 . . . . 5 (∅ ∈ dom adj → ∅: ℋ⟶ ℋ)
1210, 11mto 188 . . . 4 ¬ ∅ ∈ dom adj
13 ndmfv 6205 . . . . 5 𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = ∅)
1413eleq1d 2684 . . . 4 𝑇 ∈ dom adj → ((adj𝑇) ∈ dom adj ↔ ∅ ∈ dom adj))
1512, 14mtbiri 317 . . 3 𝑇 ∈ dom adj → ¬ (adj𝑇) ∈ dom adj)
1615con4i 113 . 2 ((adj𝑇) ∈ dom adj𝑇 ∈ dom adj)
171, 16impbii 199 1 (𝑇 ∈ dom adj ↔ (adj𝑇) ∈ dom adj)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  c0 3907  dom cdm 5104  wf 5872  cfv 5876  chil 27746  0c0v 27751  adjcado 27782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-2 11064  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-hvsub 27798  df-adjh 28678
This theorem is referenced by:  adjbdlnb  28913  adjeq0  28920
  Copyright terms: Public domain W3C validator