Theorem dmadjop 29077

Description: A member of the domain of the adjoint function is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjop	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem dmadjop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjss 29076	. . 3 ⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)
2	1	sseli 3740	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ))
3		ax-hilex 28186	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8054	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5	2, 4	sylib 208	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  (class class class)co 6814   ↑_𝑚 cmap 8025   ℋchil 28106  adj_ℎcado 28142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-hilex 28186  ax-hfi 28266  ax-his1 28269

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-adjh 29038

This theorem is referenced by:  adjval  29079  adjval2  29080  dmadjrnb  29095  adjcl  29121  adj2  29123  adjadj  29125  hmopadj2  29130  adjlnop  29275  adjmul  29281  adjadd  29282