Theorem dm0rn0 5480

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1854	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
2		excom 2198	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
3	1, 2	xchbinx 323	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
4		alnex 1854	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
5	3, 4	bitr4i 267	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
6		noel 4067	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	nbn 361	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
8	7	albii 1895	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9		noel 4067	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
10	9	nbn 361	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
11	10	albii 1895	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
12	5, 8, 11	3bitr3i 290	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
13		abeq1 2882	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
14		abeq1 2882	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
15	12, 13, 14	3bitr4i 292	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
16		df-dm 5259	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
17	16	eqeq1i 2776	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
18		dfrn2 5449	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
19	18	eqeq1i 2776	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
20	15, 17, 19	3bitr4i 292	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196  ∀wal 1629   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  {cab 2757  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ran crn 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-cnv 5257  df-dm 5259  df-rn 5260

This theorem is referenced by:  rn0  5515  relrn0  5521  imadisj  5625  rnsnn0  5742  f00  6227  f0rn0  6230  2nd0  7322  iinon  7590  onoviun  7593  onnseq  7594  map0b  8049  fodomfib  8396  intrnfi  8478  wdomtr  8636  noinfep  8721  wemapwe  8758  fin23lem31  9367  fin23lem40  9375  isf34lem7  9403  isf34lem6  9404  ttukeylem6  9538  fodomb  9550  rpnnen1lem4  12020  rpnnen1lem5  12021  rpnnen1lem4OLD  12026  rpnnen1lem5OLD  12027  fseqsupcl  12984  fseqsupubi  12985  dmtrclfv  13967  ruclem11  15175  prmreclem6  15832  0ram  15931  0ram2  15932  0ramcl  15934  gsumval2  17488  ghmrn  17881  gexex  18463  gsumval3  18515  iinopn  20927  hauscmplem  21430  fbasrn  21908  alexsublem  22068  evth  22978  minveclem1  23414  minveclem3b  23418  ovollb2  23477  ovolunlem1a  23484  ovolunlem1  23485  ovoliunlem1  23490  ovoliun2  23494  ioombl1lem4  23549  uniioombllem1  23569  uniioombllem2  23571  uniioombllem6  23576  mbfsup  23651  mbfinf  23652  mbflimsup  23653  itg1climres  23701  itg2monolem1  23737  itg2mono  23740  itg2i1fseq2  23743  itg2cnlem1  23748  minvecolem1  28070  rge0scvg  30335  esumpcvgval  30480  cvmsss2  31594  fin2so  33729  ptrecube  33742  heicant  33777  isbnd3  33915  totbndbnd  33920  rnnonrel  38423  rnmpt0  39930  stoweidlem35  40769  hoicvr  41282