MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdird 11052
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divsubdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divsubdir 10933 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1481 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  cmin 10478   / cdiv 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12531  discr  13215  crre  14073  reccn2  14546  iseralt  14634  trireciplem  14813  geolim  14820  geolim2  14821  georeclim  14822  bpolydiflem  15004  bitsinv1lem  15385  fldivp1  15823  mul4sqlem  15879  lebnumii  22986  dyadovol  23581  mbfi1fseqlem6  23706  dvmptdiv  23956  dveflem  23961  dvsincos  23963  dvlip  23975  ulmdvlem1  24373  efeq1  24495  tanarg  24585  logcnlem4  24611  ang180lem1  24759  angpieqvdlem  24775  chordthmlem2  24780  chordthmlem4  24782  dcubic1lem  24790  dcubic2  24791  mcubic  24794  cubic2  24795  dquartlem1  24798  dquartlem2  24799  dquart  24800  2efiatan  24865  tanatan  24866  atantan  24870  dvatan  24882  atantayl  24884  atantayl2  24885  birthdaylem2  24899  jensenlem2  24934  logdiflbnd  24941  emcllem2  24943  lgamgulmlem2  24976  basellem8  25034  lgseisenlem1  25320  lgsquadlem2  25326  vmalogdivsum2  25447  vmalogdivsum  25448  2vmadivsumlem  25449  selberg3lem1  25466  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  pntrmax  25473  pntrsumo1  25474  selberg3r  25478  selberg4r  25479  selberg34r  25480  pntrlog2bndlem4  25489  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemo  25516  pntlem3  25518  brbtwn2  26005  axsegconlem9  26025  axsegconlem10  26026  axpaschlem  26040  axcontlem8  26071  dya2icoseg  30669  itg2addnclem  33792  pellexlem2  37914  pellexlem6  37918  areaquad  38322  hashnzfzclim  39041  binomcxplemrat  39069  oddfl  40006  sumnnodd  40383  itgcoscmulx  40706  itgsincmulx  40711  stirlinglem1  40812  stirlinglem6  40817  dirkercncflem1  40841  fourierdlem26  40871  fourierdlem30  40875  fourierdlem65  40909
  Copyright terms: Public domain W3C validator