MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 24927
Description: Lemma for divsqrsum 24929 and divsqrtsum2 24930. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 12456 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2780 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 11930 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 11615 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 0red 10247 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6 1re 10245 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 11514 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
86, 7nn0addge2i 11549 . . . . . 6 1 ≤ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10 2re 11296 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 14213 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211adantl 467 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1312rpred 12075 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14 remulcl 10227 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 575 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612rprecred 12086 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17 nnrp 12045 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 580 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 10234 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
2112rpcnd 12077 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22 2rp 12040 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 12058 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 575 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 12085 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 24704 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28 2cnd 11299 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 23947 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30 2cnd 11299 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31 1cnd 10262 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
3224rpcnne0d 12084 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33 divass 10909 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3512rpcnne0d 12084 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36 rpcnne0 12053 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38 divcan5 10933 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2807 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
4140mpteq2dva 4879 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
4229, 41eqtrd 2805 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
4443oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45 simp3r 1244 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥𝑛)
46 simp2l 1241 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rprege0d 12082 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 simp2r 1242 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 12082 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50 sqrtle 14209 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5147, 49, 50syl2anc 573 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5245, 51mpbid 222 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
5346rpsqrtcld 14358 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 14358 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 12094 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
5652, 55mpbid 222 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58 sqrtlim 24920 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
6160oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 24016 . . . 4 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
6362simp1d 1136 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
6463trud 1641 . 2 𝐹:ℝ+⟶ℝ
6562simp2d 1137 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
6665trud 1641 . 2 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67 rpge0 12048 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
6867adantl 467 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
6962simp3d 1138 . . . 4 (⊤ → ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
7069trud 1641 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7168, 70mpd3an3 1573 . 2 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7264, 66, 713pm3.2i 1423 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  {cpr 4319   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  +crp 12035  (,)cioo 12380  ...cfz 12533  cfl 12799  csqrt 14181  abscabs 14182  𝑟 crli 14424  Σcsu 14624   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  24928  divsqrsum  24929  divsqrtsum2  24930
  Copyright terms: Public domain W3C validator