MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrecd 10996
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrecd (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec 10893 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  prodgt0  11060  ltdiv1  11079  ltrec  11097  lediv12a  11108  expsub  13102  expdiv  13105  rlimdiv  14575  isumdivc  14694  fsumdivc  14717  trirecip  14794  geo2sum  14803  geo2lim  14805  prodfdiv  14827  ege2le3  15019  eftlub  15038  eirrlem  15131  prmreclem4  15825  m1expaddsub  18118  abvdiv  19039  cnsubrg  20008  nmdvr  22675  nmoi2  22735  cphdivcl  23182  ipcau2  23233  divcncf  23416  ovolsca  23483  dvmptdiv  23936  dvsincos  23943  plyeq0lem  24165  plydivlem4  24250  aalioulem4  24289  geolim3  24293  aaliou3lem8  24299  taylthlem2  24327  advlogexp  24600  cxpsub  24627  divcxp  24632  dvcxp1  24680  dvcncxp1  24683  relogbdiv  24716  lawcoslem1  24744  dvatan  24861  leibpi  24868  log2tlbnd  24871  fsumharmonic  24937  lgamgulmlem2  24955  lgamgulmlem3  24956  lgamgulmlem4  24957  basellem8  25013  chebbnd1  25360  rplogsumlem2  25373  rpvmasumlem  25375  dchrmusumlema  25381  dchrisum0lema  25402  dchrisum0lem1  25404  dchrisum0lem2a  25405  dchrisum0lem2  25406  dchrmusumlem  25410  mulogsumlem  25419  mulogsum  25420  logdivsum  25421  mulog2sumlem1  25422  vmalogdivsum2  25426  2vmadivsumlem  25428  log2sumbnd  25432  logdivbnd  25444  selberg4lem1  25448  selberg34r  25459  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem6  25471  pntpbnd2  25475  smcnlem  27861  ipasslem5  27999  omssubadd  30671  logdivsqrle  31037  knoppndvlem14  32822  dvtan  33773  areacirclem1  33813  areacirclem4  33816  irrapxlem5  37892  pell14qrdivcl  37931  hashnzfzclim  39023  binomcxplemnotnn0  39057  ltdiv23neg  40115  climdivf  40347  divlimc  40391  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  dvnxpaek  40660  stoweidlem36  40756  wallispi  40790  stirlinglem7  40800  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem4  40826  fourierdlem39  40866  fourierdlem40  40867  fourierdlem56  40882  fourierdlem62  40888  fourierdlem78  40904  fourierdlem83  40909  fourierdlem95  40921  smfdiv  41510  dignn0flhalflem1  42919  amgmlemALT  43062  young2d  43064
  Copyright terms: Public domain W3C validator