MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divnumden Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divnumden 15658
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divnumden ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 11591 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
32adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 nnne0 11245 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
54neneqd 2937 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 𝐵 = 0)
65adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
76intnand 1000 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
8 gcdn0cl 15426 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
91, 3, 7, 8syl21anc 1476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
10 gcddvds 15427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
112, 10sylan2 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
12 gcddiv 15470 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
131, 3, 9, 11, 12syl31anc 1480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
149nncnd 11228 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
159nnne0d 11257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
1614, 15dividd 10991 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
1713, 16eqtr3d 2796 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
18 zcn 11574 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1918adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 nncn 11220 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
2120adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
224adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
23 divcan7 10926 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
2423eqcomd 2766 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2519, 21, 22, 14, 15, 24syl122anc 1486 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
26 znq 11985 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
2711simpld 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
28 gcdcl 15430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
2928nn0zd 11672 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
302, 29sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
31 dvdsval2 15185 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
3230, 15, 1, 31syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
3327, 32mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
3411simprd 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
35 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
36 nndivdvds 15191 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ))
3735, 9, 36syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ))
3834, 37mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
39 qnumdenbi 15654 . . 3 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))) ↔ ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
4026, 33, 38, 39syl3anc 1477 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))) ↔ ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
4117, 25, 40mpbi2and 994 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   / cdiv 10876  cn 11212  cz 11569  cq 11981  cdvds 15182   gcd cgcd 15418  numercnumer 15643  denomcdenom 15644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646
This theorem is referenced by:  divdenle  15659  divnumden2  29873  qqhval2lem  30334
  Copyright terms: Public domain W3C validator