MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldivi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldivi 10985
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divmuldivi ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem divmuldivi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 divmulz.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
3 divclz.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
4 divmuldiv.5 . . 3 𝐵 ≠ 0
53, 4pm3.2i 471 . 2 (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)
6 divmuldiv.4 . . 3 𝐷 ∈ ℂ
7 divmuldiv.6 . . 3 𝐷 ≠ 0
86, 7pm3.2i 471 . 2 (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)
9 divmuldiv 10925 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9mp4an 708 1 ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136   · cmul 10141   / cdiv 10884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885
This theorem is referenced by:  divmul13i  10986  8th4div3  11452  halfpm6th  11453  sqrecii  13153  sqdivi  13155  bpoly3  15000  efival  15093  ef01bndlem  15125  sincos4thpi  24492  sincos6thpi  24494  bposlem8  25243  bposlem9  25244  quad3  31903  wallispi2lem1  40806
  Copyright terms: Public domain W3C validator