MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuld 11036
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuld.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divmuld (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem divmuld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divmuld.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
5 divmul 10901 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) = 𝐴))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1481 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149   · cmul 10154   / cdiv 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898
This theorem is referenced by:  nndiv  11274  recval  14282  clim2div  14841  sinadd  15114  tanaddlem  15116  pc2dvds  15806  odmulgeq  18195  zringunit  20059  prmirredlem  20064  nrginvrcnlem  22717  i1fmulclem  23689  itg1mulc  23691  mvth  23975  efopn  24625  cxpeq  24719  ang180lem3  24762  quad2  24787  asinneg  24834  dvdsflf1o  25134  muinv  25140  brbtwn2  26006  colinearalg  26011  axeuclidlem  26063  axcontlem8  26072  qirropth  37994  binomcxplemfrat  39071  binomcxplemnotnn0  39076  fourierswlem  40969
  Copyright terms: Public domain W3C validator