Theorem divmul13i 10998

Description: Swap denominators of two ratios. (Contributed by NM, 6-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5	⊢ 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divmul13i	⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Proof of Theorem divmul13i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulz.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
2		divclz.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcomi 10258	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶)
4	3	oveq1i 6824	. 2 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
5		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		divmuldiv.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		divmuldiv.5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 0
8		divmuldiv.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ≠ 0
9	1, 5, 2, 6, 7, 8	divmuldivi 10997	. 2 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷))
10	2, 5, 1, 6, 7, 8	divmuldivi 10997	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
11	4, 9, 10	3eqtr4ri 2793	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153   / cdiv 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897

This theorem is referenced by: (None)