MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dividd 10837
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dividd (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divid 10752 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  nndivtr  11100  divge1  11936  xov1plusxeqvd  12356  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  intfracq  12698  fldiv  12699  modid0  12736  bcn0  13137  abs1m  14119  georeclim  14647  efaddlem  14867  sqgcd  15325  prmind2  15445  divgcdodd  15469  divnumden  15503  hashgcdlem  15540  pythagtriplem19  15585  pc2dvds  15630  fldivp1  15648  abv1z  18880  dveflem  23787  dvlip  23801  elqaalem2  24120  aareccl  24126  efeq1  24320  eff1olem  24339  eflogeq  24393  tanarg  24410  logcnlem4  24436  cxpaddle  24538  logbid1  24551  isosctrlem3  24595  angpieqvdlem  24600  dcubic2  24616  2efiatan  24690  atantan  24695  birthdaylem2  24724  efrlim  24741  jensenlem2  24759  logdifbnd  24765  logdiflbnd  24766  emcllem2  24768  emcllem3  24769  emcllem5  24771  dmgmdivn0  24799  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem5  24804  lgamcvg2  24826  lgam1  24835  basellem8  24859  vmalogdivsum2  25272  2vmadivsumlem  25274  selberg4lem1  25294  pntrmax  25298  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem5  25315  pntibndlem2  25325  pntlem3  25343  brbtwn2  25830  axsegconlem10  25851  axpaschlem  25865  axcontlem8  25896  cndprobtot  30626  cvmliftlem11  31403  divcnvlin  31744  iprodgam  31754  faclim2  31760  poimirlem32  33571  dvtan  33590  areacirc  33635  irrapxlem5  37707  pellexlem6  37715  pell14qrexpclnn0  37747  reglogbas  37776  imo72b2  38792  binomcxplemrat  38866  divcan8d  39840  mccllem  40147  clim1fr1  40151  coseq0  40393  dvnxpaek  40475  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  wallispilem5  40604  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem1  40638  fourierdlem4  40646  fourierdlem6  40648  fourierdlem26  40668  fourierdlem65  40706  etransclem35  40804  sharhght  41375  cotsqcscsq  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator