Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divgt1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgt1b 42828
Description: The ratio of a real number to a positive real number is greater than 1 iff the divisor (the positive real number) is less than the dividend (the real number). (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
divgt1b ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem divgt1b
StepHypRef Expression
1 rpcn 12044 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32mulid2d 10264 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
43eqcomd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
54breq1d 4797 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) < 𝐵))
6 1red 10261 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7 simpr 471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 rpregt0 12049 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
98adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 ltmuldiv 11102 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
116, 7, 9, 10syl3anc 1476 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
125, 11bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147   < clt 10280   / cdiv 10890  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  pw2m1lepw2m1  42835
  Copyright terms: Public domain W3C validator