Theorem divge0d 12126

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 11105	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 1476	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  ℝcr 10148  0cc0 10149   < clt 10287   ≤ cle 10288   / cdiv 10897  ℝ⁺crp 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-rp 12047

This theorem is referenced by:  bitsfzo  15380  bitsmod  15381  icopnfcnv  22963  logdiflbnd  24942  lgamgulmlem3  24978  chpo1ubb  25391  vmadivsumb  25393  rpvmasumlem  25397  dchrisumlem1  25399  dchrvmasumlem2  25408  rplogsum  25437  dirith2  25438  mulog2sumlem2  25445  vmalogdivsum2  25448  2vmadivsumlem  25450  selbergb  25459  selberg2b  25462  selberg4lem1  25470  pntrlog2bndlem2  25488  pntrlog2bndlem4  25490  pntrlog2bndlem5  25491  pntrlog2bndlem6  25493  pntrlog2bnd  25494  pntibndlem2  25501  ttgcontlem1  25986  sqsscirc1  30285  faclimlem1  31958  knoppndvlem14  32844  itg2addnclem2  33794  geomcau  33887  areaquad  38323  stirlinglem11  40823  stirlinglem12  40824  fourierdlem26  40872  fourierdlem30  40876  fourierdlem47  40892  sge0ad2en  41170