Theorem divge0 11076

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1112	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 622	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  0cc0 10120   < clt 10258   ≤ cle 10259   / cdiv 10868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869

This theorem is referenced by:  mulge0b  11077  ledivp1  11109  divge0i  11117  divge0d  12097  divelunit  12499  adddivflid  12805  fldiv4p1lem1div2  12822  fldiv  12845  modid  12881  modmuladdnn0  12900  expnbnd  13179  sqrtdiv  14197  sqreulem  14290  iseralt  14606  efcllem  14999  ege2le3  15011  flodddiv4  15331  hashgcdlem  15687  iserodd  15734  fldivp1  15795  4sqlem14  15856  odmodnn0  18151  prmirredlem  20035  icopnfcnv  22934  lebnumii  22958  nmoleub2lem3  23107  ncvs1  23149  minveclem4  23395  mbfi1fseqlem1  23673  mbfi1fseqlem5  23677  radcnvlem1  24358  cxpaddle  24684  leibpilem1  24858  log2tlbnd  24863  birthdaylem3  24871  jensenlem2  24905  amgm  24908  basellem3  25000  ppiub  25120  logfac2  25133  gausslemma2dlem0d  25275  chto1ub  25356  vmadivsum  25362  rpvmasumlem  25367  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumiflem1  25381  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0re  25393  mulog2sumlem2  25415  selberg2lem  25430  pntrmax  25444  pntrsumo1  25445  pntpbnd1  25466  ostth2lem2  25514  axpaschlem  26011  axcontlem2  26036  nv1  27831  siii  28009  minvecolem4  28037  norm1  28407  strlem1  29410  unitdivcld  30248  cvmliftlem2  31567  cvmliftlem10  31575  cvmliftlem13  31577  snmlff  31610  poimirlem29  33743  poimirlem30  33744  poimirlem31  33745  poimirlem32  33746  pellexlem1  37887  pellexlem6  37892  jm2.22  38056  jm2.23  38057  stoweidlem36  40748  stoweidlem38  40750  nn0eo  42824  dignn0flhalf  42914