MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdiv1d 11044
Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuld.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divdiv23d.5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdiv1d (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 divdiv23d.5 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
6 divdiv1 10948 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1486 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153   / cdiv 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897
This theorem is referenced by:  discr  13215  hashf1  13453  bcfallfac  14994  eftlub  15058  tanval2  15082  sinhval  15103  sqrt2irrlem  15196  sqrt2irrlemOLD  15197  bitsp1  15375  4sqlem7  15870  4sqlem10  15873  uniioombl  23577  dvrec  23937  dvsincos  23963  dvcvx  24002  taylthlem2  24347  mcubic  24794  cubic2  24795  quart1lem  24802  quart1  24803  log2cnv  24891  log2tlbnd  24892  birthdaylem2  24899  efrlim  24916  bcmono  25222  m1lgs  25333  chto1lb  25387  vmalogdivsum2  25447  selberg3lem1  25466  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  selberg34r  25480  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem4  25489  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemg  25507  irrapxlem5  37910  divdiv3d  40091  mccllem  40350  clim1fr1  40354  sinaover2ne0  40600  dvnprodlem2  40683  wallispi2lem1  40809  stirlinglem3  40814  stirlinglem4  40815  stirlinglem7  40818  stirlinglem15  40826  dirker2re  40830  dirkerdenne0  40831  dirkertrigeqlem2  40837  dirkertrigeqlem3  40838  dirkertrigeq  40839  dirkercncflem1  40841  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem4  40844  fourierdlem56  40900  fourierdlem66  40910  sqwvfourb  40967  fouriersw  40969
  Copyright terms: Public domain W3C validator