MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 11023
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 10894 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120   + caddc 10123   / cdiv 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869
This theorem is referenced by:  zesq  13173  sqreulem  14290  bitsp1o  15349  bitsmod  15352  lcmgcdlem  15513  pythagtriplem19  15732  fldivp1  15795  mul4sqlem  15851  4sqlem17  15859  metnrmlem3  22857  pcoass  23016  ovollb2lem  23448  opnmbllem  23561  dvaddbr  23892  dvmulbr  23893  ftc1lem4  23993  vieta1lem2  24257  cosargd  24545  tanarg  24556  cxpaddle  24684  cxpeq  24689  dcubic1lem  24761  dcubic2  24762  mcubic  24765  cubic2  24766  dquartlem1  24769  dquart  24771  cosatan  24839  atantan  24841  dvatan  24853  jensenlem2  24905  logdifbnd  24911  emcllem3  24915  emcllem5  24917  dmgmdivn0  24945  lgamgulmlem2  24947  lgamgulmlem5  24950  lgamcvg2  24972  lgam1  24981  basellem3  25000  basellem8  25005  perfectlem2  25146  bclbnd  25196  lgseisenlem1  25291  lgsquad2lem1  25300  dchrvmasum2if  25377  selberg3  25439  selberg4  25441  selberg34r  25451  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem4  25460  pntrlog2bndlem5  25461  pntrlog2bndlem6  25463  pntibndlem2  25471  brbtwn2  25976  axsegconlem10  25997  axeuclidlem  26033  axcontlem8  26042  dya2icoseg  30640  divcnvlin  31917  iprodgam  31927  knoppndvlem9  32809  bj-bary1lem  33463  bj-bary1  33465  poimirlem29  33743  opnmbllem0  33750  dvtan  33765  ftc1cnnclem  33788  dvasin  33801  areacirclem1  33805  reglogmul  37951  binomcxplemwb  39041  clim1fr1  40328  coseq0  40570  stirlinglem4  40789  stirlinglem6  40791  dirkerper  40808  dirkertrigeqlem3  40812  dirkercncflem1  40815  dirkercncflem2  40816  fourierdlem4  40823  fourierdlem26  40845  fourierdlem42  40861  fourierdlem83  40901  fourierdlem112  40930  sqwvfourb  40941  etransclem44  40990  perfectALTVlem2  42133  cotsqcscsq  43008
  Copyright terms: Public domain W3C validator