Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvlin 31925
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvlin.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvlin.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 11220 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
21adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
54zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 10584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 nnne0 11245 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
102, 7, 2, 9divdird 11031 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
112, 9dividd 10991 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1211oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1310, 12eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1413mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))))
15 nnuz 11916 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
16 1zzd 11600 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17 divcnv 14784 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19 1cnd 10248 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20 nnex 11218 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2120mptex 6650 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 10993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))
2523, 24fmptd 6548 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝐵) / 𝑚) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
2827oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
29 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
30 ovex 6841 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6444 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
32 ovex 6841 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) / 𝑘) ∈ V
3327, 24, 32fvmpt 6444 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
3433oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
3531, 34eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3635adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3715, 16, 18, 19, 22, 26, 36climaddc2 14565 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 4826 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 11589 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
40 resmpt 5607 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
4215reseq2i 5548 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
4341, 42eqtr3i 2784 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
44 1p0e1 11325 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 4813 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1)
46 1z 11599 . . . . 5 1 ∈ ℤ
47 zex 11578 . . . . . 6 ℤ ∈ V
4847mptex 6650 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49 climres 14505 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 710 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 264 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
54 divcnvlin.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
55 divcnvlin.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57 eluzelz 11889 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5857, 53eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
5958zcnd 11675 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
614adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
6261zcnd 11675 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
633adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63ppncand 10624 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
6564oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
6658adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766, 61zaddcld 11678 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
7068, 69oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
72 ovex 6841 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6444 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
7665, 74, 753eqtr4d 2804 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 14512 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  cz 11569  cuz 11879  cli 14414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419
This theorem is referenced by:  faclimlem2  31937  faclim2  31941
  Copyright terms: Public domain W3C validator