MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcli 10880
Description: Closure law for division. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divcl.3 𝐵 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divcli (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ

Proof of Theorem divcli
StepHypRef Expression
1 divcl.3 . 2 𝐵 ≠ 0
2 divclz.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
3 divclz.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
42, 3divclzi 10873 . 2 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 1 (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2103  wne 2896  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049   / cdiv 10797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798
This theorem is referenced by:  divcan1i  10882  halfpm6th  11366  sqdivi  13063  bpoly3  14909  bpoly4  14910  cos1bnd  15037  cospi  24344  sinhalfpip  24364  sinhalfpim  24365  coshalfpip  24366  coshalfpim  24367  sincosq1eq  24384  sincos6thpi  24387  sincos3rdpi  24388  cxpsqrt  24569  1cubr  24689  quart1cl  24701  quart1lem  24702  quart1  24703  dvatan  24782  log2cnv  24791  log2tlbnd  24792  bclbnd  25125  bposlem8  25136  bposlem9  25137  dp20h  29816  dpmul10  29833  dpmul100  29835  dp3mul10  29836  dpexpp1  29846  dpadd2  29848  quad3  31792  areacirc  33737  areaquad  38221  lhe4.4ex1a  38947  stoweidlem13  40650  stoweidlem26  40663  wallispilem4  40705  wallispi  40707  dirkerper  40733  fourierdlem103  40846  fourierswlem  40867  fouriersw  40868
  Copyright terms: Public domain W3C validator