MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcld 10914
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcl 10804 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1439 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  wne 2896  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049   / cdiv 10797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10944  mulsubdivbinom2  13161  hashf1  13354  abs1m  14195  abslem2  14199  sqreulem  14219  sqreu  14220  o1fsum  14665  divrcnv  14704  divcnv  14705  geolim  14721  geolim2  14722  geo2sum  14724  geo2lim  14726  fproddiv  14811  bpolycl  14903  bpolysum  14904  bpolydiflem  14905  bpoly4  14910  eftcl  14924  efaddlem  14943  tancl  14979  tanval2  14983  qredeq  15494  pcaddlem  15715  pjthlem1  23329  iblss  23691  itgeqa  23700  iblconst  23704  iblabsr  23716  iblmulc2  23717  itgsplit  23722  dvlem  23780  dvmulbr  23822  dvcobr  23829  dvrec  23838  dvrecg  23856  dvmptdiv  23857  dvcnvlem  23859  dveflem  23862  dvsincos  23864  dvlip  23876  c1liplem1  23879  lhop1lem  23896  lhop1  23897  lhop2  23898  lhop  23899  ftc1lem4  23922  vieta1lem2  24186  vieta1  24187  elqaalem3  24196  aareccl  24201  aalioulem1  24207  taylfvallem1  24231  tayl0  24236  taylply2  24242  taylply  24243  dvtaylp  24244  taylthlem2  24248  ulmdvlem1  24274  tanregt0  24405  eff1olem  24414  argregt0  24476  argrege0  24477  argimgt0  24478  logcnlem4  24511  advlogexp  24521  logtaylsum  24527  logtayl2  24528  root1eq1  24616  logbcl  24625  cxplogb  24644  logbf  24647  angcld  24655  angrteqvd  24656  cosangneg2d  24657  angrtmuld  24658  ang180lem1  24659  ang180lem2  24660  ang180lem3  24661  ang180lem4  24662  ang180lem5  24663  lawcoslem1  24665  lawcos  24666  isosctrlem2  24669  isosctrlem3  24670  angpieqvdlem  24675  angpieqvdlem2  24676  angpieqvd  24678  dcubic1lem  24690  dcubic2  24691  dcubic1  24692  dcubic  24693  mcubic  24694  cubic2  24695  dquartlem1  24698  dquartlem2  24699  dquart  24700  quart1cl  24701  quart1lem  24702  quart1  24703  quartlem3  24706  quartlem4  24707  quart  24708  tanatan  24766  atantayl  24784  atantayl2  24785  atantayl3  24786  log2cnv  24791  birthdaylem2  24799  efrlim  24816  dfef2  24817  cxploglim2  24825  fsumharmonic  24858  lgamgulmlem2  24876  lgamgulmlem3  24877  lgamgulmlem4  24878  lgamgulmlem5  24879  lgamgulmlem6  24880  lgamgulm2  24882  lgamcvg2  24901  gamcvg  24902  gamcvg2lem  24905  ftalem4  24922  ftalem5  24923  basellem8  24934  logexprlim  25070  bposlem9  25137  2lgslem3d  25244  2sqlem3  25265  dchrmusum2  25303  dchrvmasum2lem  25305  dchrvmasumiflem1  25310  dchrvmasumiflem2  25311  dchrvmaeq0  25313  dchrisum0re  25322  dchrisum0lem1b  25324  dchrisum0lem1  25325  dchrisum0lem2a  25326  dchrisum0lem2  25327  dchrisum0lem3  25328  dchrisum0  25329  mudivsum  25339  vmalogdivsum2  25347  vmalogdivsum  25348  2vmadivsumlem  25349  selberg2  25360  selberg3lem1  25366  selberg3  25368  selberg4lem1  25369  selbergr  25377  selberg3r  25378  selberg4r  25379  selberg34r  25380  pntrlog2bndlem1  25386  pntrlog2bndlem2  25387  pntrlog2bndlem3  25388  pntrlog2bndlem4  25389  pntrlog2bndlem5  25390  colinearalg  25910  axcontlem8  25971  pjhthlem1  28480  eigvalcl  29050  riesz3i  29151  bcm1n  29784  divnumden2  29794  oddpwdc  30646  signsplypnf  30857  signsply0  30858  itgexpif  30914  hgt750leme  30966  subfacval2  31397  divcnvlin  31846  bcprod  31852  iprodgam  31856  unbdqndv2lem1  32727  knoppndvlem2  32731  knoppndvlem7  32736  knoppndvlem9  32738  knoppndvlem10  32739  knoppndvlem16  32745  knoppndvlem17  32746  itg2addnclem  33693  iblmulc2nc  33707  ftc1cnnclem  33715  areacirclem1  33732  areacirclem4  33735  areacirc  33737  cntotbnd  33827  pellexlem2  37813  pellexlem6  37817  jm2.19  37979  jm2.27c  37993  proot1ex  38198  cvgdvgrat  38931  radcnvrat  38932  hashnzfzclim  38940  bcccl  38957  bccm1k  38960  binomcxplemrat  38968  binomcxplemfrat  38969  binomcxplemnotnn0  38974  xralrple2  39985  mccllem  40249  clim1fr1  40253  0ellimcdiv  40301  coseq0  40495  fperdvper  40553  dvdivbd  40558  dvnmptdivc  40573  dvnxpaek  40577  dvnprodlem2  40582  iblsplit  40602  itgcoscmulx  40605  itgsincmulx  40610  stoweidlem11  40648  stoweidlem26  40663  stoweidlem42  40679  wallispilem4  40705  wallispilem5  40706  wallispi  40707  wallispi2lem1  40708  wallispi2lem2  40709  wallispi2  40710  stirlinglem1  40711  stirlinglem3  40713  stirlinglem4  40714  stirlinglem5  40715  stirlinglem6  40716  stirlinglem7  40717  stirlinglem13  40723  stirlinglem14  40724  stirlinglem15  40725  dirkeritg  40739  dirkercncflem1  40740  dirkercncflem2  40741  fourierdlem26  40770  fourierdlem39  40783  fourierdlem56  40799  fourierdlem62  40805  fourierdlem72  40815  fourierdlem74  40817  fourierdlem75  40818  fourierdlem76  40819  fourierdlem80  40823  fourierdlem103  40846  fourierdlem104  40847  fouriersw  40868  elaa2lem  40870  etransclem15  40886  etransclem20  40891  etransclem21  40892  etransclem22  40893  etransclem23  40894  etransclem24  40895  etransclem25  40896  etransclem31  40902  etransclem32  40903  etransclem33  40904  etransclem34  40905  etransclem35  40906  etransclem47  40918  etransclem48  40919  hoiqssbllem2  41260  sigardiv  41473  sharhght  41477  fmtnoprmfac2lem1  41905  fdivmptf  42762  cotcl  42923
  Copyright terms: Public domain W3C validator