MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan4d 10999
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan4 10904 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   · cmul 10133   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  mvllmuld  11049  mulge0b  11085  ltmuldiv  11088  rimul  11203  mul2lt0rlt0  12125  mulmod0  12870  2txmodxeq0  12924  expaddzlem  13097  mulsubdivbinom2  13240  facdiv  13268  permnn  13307  cjdiv  14103  sqrtdiv  14205  absdiv  14234  sqreulem  14298  gcddiv  15470  divgcdcoprm0  15581  hashgcdlem  15695  sylow2blem3  18237  cnflddiv  19978  cnsubrg  20008  i1fmullem  23660  mbfi1fseqlem3  23683  mbfi1fseqlem6  23686  dvsincos  23943  ftc1lem4  24001  vieta1lem2  24265  aaliou3lem9  24304  root1eq1  24695  nnlogbexp  24718  relogbcxp  24722  lawcoslem1  24744  chordthmlem2  24759  chordthmlem4  24761  dcubic1lem  24769  dcubic2  24770  dquartlem1  24777  efiatan2  24843  tanatan  24845  regamcl  24986  basellem3  25008  bclbnd  25204  gausslemma2dlem3  25292  2lgslem1a2  25314  2lgslem3b  25321  2lgslem3c  25322  2lgslem3d  25323  2sqlem3  25344  vmadivsum  25370  dchrmusum2  25382  dchrmusumlem  25410  vmalogdivsum  25427  selberg3lem1  25445  pntrlog2bndlem4  25468  pntlemb  25485  normcan  28744  dya2icoseg  30648  bayesth  30810  signsplypnf  30936  divsqrtid  30981  bj-ldiv  33466  bj-bary1lem  33471  ftc1cnnclem  33796  dvasin  33809  pellexlem2  37896  pellexlem6  37900  proot1ex  38281  divcan8d  40025  wallispilem5  40789  stirlinglem3  40796  stirlinglem4  40797  stirlinglem15  40808  dirkertrigeqlem1  40818  dirkertrigeqlem2  40819  dirkertrigeqlem3  40820  dirkercncflem4  40826  fourierdlem6  40833  fourierdlem19  40846  fourierdlem26  40853  fourierdlem39  40866  fourierdlem42  40869  fourierdlem63  40889  fourierdlem65  40891  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  2zrngnmlid  42459  mvlrmuld  43035
  Copyright terms: Public domain W3C validator