MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 10998
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 10903 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   · cmul 10133   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  prodgt0  11060  mulge0b  11085  ltdivmul  11090  ledivmul  11091  zneo  11652  2tnp1ge0ge0  12824  quoremz  12848  quoremnn0ALT  12850  moddiffl  12875  zesq  13181  discr  13195  bcn1  13294  crre  14053  abslem2  14278  fallfacval4  14973  sinhval  15083  eirrlem  15131  sqrt2irrlem  15176  sqrt2irrlemOLD  15177  ltoddhalfle  15287  flodddiv4  15339  bitsp1e  15356  bitsp1o  15357  iserodd  15742  fldivp1  15803  4sqlem17  15867  gexexlem  18455  abv1z  19034  gzrngunit  20014  cphipval2  23240  ovolunlem1a  23464  itg1mulc  23670  dvrec  23917  elqaalem3  24275  eff1olem  24493  logf1o2  24595  isosctrlem2  24748  heron  24764  dcubic2  24770  mcubic  24773  cubic2  24774  dquartlem1  24777  dquartlem2  24778  dquart  24779  cosasin  24830  efiatan2  24843  tanatan  24845  dvatan  24861  atantayl3  24865  jensen  24914  basellem3  25008  basellem5  25010  basellem8  25013  logfacrlim  25148  perfectlem2  25154  lgsquadlem1  25304  lgsquadlem2  25305  2lgslem1c  25317  2lgslem3a  25320  dchrvmasumlem1  25383  mudivsum  25418  vmalogdivsum2  25426  logsqvma  25430  selberglem2  25434  selberglem3  25435  selberg  25436  selbergr  25456  selberg3r  25457  selberg4r  25458  selberg34r  25459  pntsval2  25464  pntpbnd1a  25473  pntibndlem2  25479  axsegconlem9  26004  cdj1i  29601  subfacval2  31476  circum  31875  knoppndvlem2  32810  knoppndvlem9  32817  areacirclem1  33813  areacirclem4  33816  hashnzfzclim  39023  dmmcand  40026  sumnnodd  40365  sinmulcos  40579  itgsinexp  40673  itgcoscmulx  40688  itgsincmulx  40693  stirlinglem7  40800  dirkertrigeqlem3  40820  dirkeritg  40822  dirkercncflem2  40824  fourierdlem79  40905  fourierdlem83  40909  fourierdlem95  40921  fouriercnp  40946  fourierswlem  40950  etransclem24  40978  etransclem41  40995  sfprmdvdsmersenne  42030  dfodd6  42060  dfeven4  42061  perfectALTVlem2  42141  sinhpcosh  42994
  Copyright terms: Public domain W3C validator