MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan2d 10987
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan2d (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan2 10877 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1473 1 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120   · cmul 10125   / cdiv 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869
This theorem is referenced by:  nneo  11645  zeo2  11648  intfracq  12844  discr  13187  hashf1  13425  caurcvgr  14595  iseralt  14606  mertenslem1  14807  fprodle  14918  bpoly4  14981  tanadd  15088  divconjdvds  15231  mod2eq1n2dvds  15265  bitsmod  15352  mulgcd  15459  qredeq  15565  qredeu  15566  prmind2  15592  isprm5  15613  pythagtriplem19  15732  pcprendvds2  15740  pcpremul  15742  pcadd  15787  prmreclem1  15814  4sqlem19  15861  ablfac1lem  18659  pgpfac1lem3  18668  prmirredlem  20035  znrrg  20108  metnrmlem3  22857  lebnumlem3  22955  pcoass  23016  ipcau2  23225  4cphipval2  23233  minveclem3  23392  sca2rab  23472  ovolscalem1  23473  uniioombllem4  23546  uniioombl  23549  itg1mulc  23662  itg2const2  23699  dvrec  23909  dveflem  23933  lhop1  23968  vieta1  24258  elqaalem3  24267  abelthlem8  24384  tangtx  24448  tanregt0  24476  eff1olem  24485  eflogeq  24539  argregt0  24547  argrege0  24548  argimgt0  24549  cxpeq  24689  ang180lem5  24734  lawcoslem1  24736  isosctrlem2  24740  isosctrlem3  24741  heron  24756  dcubic1lem  24761  dcubic2  24762  dcubic1  24763  mcubic  24765  dquartlem1  24769  dquart  24771  quart1lem  24773  quart1  24774  quart  24779  atantayl2  24856  birthdaylem2  24870  ftalem5  24994  basellem3  25000  basellem4  25001  fsumdvdsdiaglem  25100  logexprlim  25141  mersenne  25143  perfectlem2  25146  perfect  25147  bposlem9  25208  lgsqrlem2  25263  lgseisenlem1  25291  lgseisenlem3  25293  lgsquadlem1  25296  lgsquad2lem1  25300  m1lgs  25304  2sqlem8  25342  rplogsumlem1  25364  dchrvmasumiflem2  25382  dchrisum0flblem2  25389  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0lem1  25396  mulog2sumlem3  25416  selberglem2  25426  selberg3lem1  25437  selberg4lem1  25440  selberg3r  25449  selberg4r  25450  pntrlog2bndlem2  25458  pntlemg  25478  axsegconlem10  25997  axeuclidlem  26033  oddpwdc  30717  subfacval2  31468  circum  31867  faclimlem1  31928  nn0prpwlem  32615  knoppndvlem19  32819  areacirclem1  33805  areacirclem4  33808  cntotbnd  33900  irrapxlem5  37884  pellexlem2  37888  jm2.22  38056  jm2.20nn  38058  nzss  39010  binomcxplemnotnn0  39049  oddfl  39980  xralrple3  40080  sumnnodd  40357  limclner  40378  stoweidlem62  40774  stirlinglem1  40786  dirkertrigeqlem2  40811  dirkertrigeqlem3  40812  fourierdlem66  40884  fourierdlem73  40891  fourierdlem87  40905  qndenserrnbllem  41009  hoiqssbllem2  41335  fmtnoprmfac2lem1  41980  sfprmdvdsmersenne  42022  dfeven4  42053  oddflALTV  42077  nn0onn0exALTV  42111  perfectALTVlem2  42133  perfectALTV  42134  nn0onn0ex  42820
  Copyright terms: Public domain W3C validator