MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan1d 10840
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan1d (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan1 10732 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10952  lediv23  10953  recp1lt1  10959  ledivp1  10963  subhalfhalf  11304  xp1d2m1eqxm1d2  11324  div4p1lem1div2  11325  qmulz  11829  iccf1o  12354  ltdifltdiv  12675  bcpasc  13148  sqrtdiv  14050  geo2sum  14648  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  dvdsval2  15030  flodddiv4t2lthalf  15187  bitsres  15242  bitsuz  15243  mulgcddvds  15416  qredeq  15418  isprm6  15473  qmuldeneqnum  15502  hashgcdlem  15540  pcqdiv  15609  pockthlem  15656  prmreclem3  15669  4sqlem5  15693  4sqlem12  15707  4sqlem15  15710  sylow3lem4  18091  odadd1  18297  odadd2  18298  gexexlem  18301  pgpfac1lem3a  18521  pgpfac1lem3  18522  znidomb  19958  znrrg  19962  nmoleub2lem  22960  nmoleub3  22965  i1fmullem  23506  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  dvcnp2  23728  dvlip  23801  plydivlem4  24096  cosne0  24321  advlogexp  24446  root1id  24540  cxplogb  24569  ang180lem1  24584  ang180lem3  24586  angpieqvd  24603  chordthmlem  24604  dcubic2  24616  dcubic  24618  dquartlem2  24624  cxploglim2  24750  fsumdvdsdiaglem  24954  logexprlim  24995  bposlem3  25056  lgslem1  25067  gausslemma2dlem1a  25135  lgsquadlem1  25150  2lgslem1a1  25159  log2sumbnd  25278  chpdifbndlem1  25287  selberg4lem1  25294  pntrlog2bndlem3  25313  pntibndlem2  25325  pntlemr  25336  ostth2lem3  25369  ostth2  25371  ostth3  25372  axcontlem7  25895  blocnilem  27787  qqhval2lem  30153  cndprobin  30624  itgexpif  30812  faclimlem1  31755  faclimlem3  31757  nn0prpwlem  32442  bj-ldiv  33285  itg2addnclem3  33593  bfplem1  33751  rrncmslem  33761  rrnequiv  33764  pellexlem6  37715  jm2.19  37877  jm2.27c  37891  binomcxplemnotnn0  38872  sineq0ALT  39487  xralrple2  39883  ltdiv23neg  39930  stoweidlem42  40577  stirlinglem3  40611  dirkertrigeq  40636  dirkercncflem2  40639  dirkercncflem4  40641  fourierdlem4  40646  fourierdlem63  40704  fourierdlem65  40706  fourierdlem83  40724  fourierdlem89  40730  fourierdlem90  40731  fourierdlem91  40732  etransclem38  40807  smfmullem1  41319  sigarcol  41374  sharhght  41375  proththd  41856  mod0mul  42639  nn0sumshdiglemA  42738
  Copyright terms: Public domain W3C validator