MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divassd 11048
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divassd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divass 10915 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1481 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153   / cdiv 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897
This theorem is referenced by:  zesq  13201  discr  13215  crre  14073  abs1m  14294  sqreulem  14318  o1rlimmul  14568  geoisum1c  14830  mertenslem1  14835  eftlub  15058  lcmgcdlem  15541  cncongr2  15604  isprm5  15641  pcaddlem  15814  pockthlem  15831  mul4sqlem  15879  4sqlem17  15887  odadd1  18471  nmoleub3  23139  ipcau2  23253  pjthlem1  23428  dvrec  23937  plyeq0lem  24185  aareccl  24300  dvradcnv  24394  abelthlem7  24411  tangtx  24477  tanarg  24585  logcnlem4  24611  mcubic  24794  cubic2  24795  dquart  24800  quart1lem  24802  quart1  24803  tanatan  24866  atantan  24870  dvatan  24882  atantayl  24884  log2cnv  24891  lgamgulmlem4  24978  basellem3  25029  perfectlem2  25175  bposlem1  25229  bposlem2  25230  lgsquad2lem1  25329  chebbnd1lem2  25379  selberg3lem1  25466  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  selberg4r  25479  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem3  25488  pntrlog2bndlem4  25489  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492  pntibndlem2  25500  pntlemo  25516  ostth2lem3  25544  axeuclidlem  26062  pjhthlem1  28580  signsplypnf  30957  hgt750leme  31066  subfaclim  31498  circum  31896  faclimlem1  31957  faclimlem3  31959  knoppndvlem2  32831  knoppndvlem7  32836  knoppndvlem17  32846  itg2addnclem  33792  dvasin  33827  areacirclem1  33831  pellexlem6  37918  reglogexp  37978  binomcxplemwb  39067  binomcxplemnotnn0  39075  0ellimcdiv  40402  stoweidlem1  40739  wallispilem4  40806  stirlinglem3  40814  stirlinglem4  40815  stirlinglem7  40818  dirkertrigeq  40839  dirkercncflem2  40842  fourierdlem30  40875  fourierdlem83  40927  elaa2lem  40971  etransclem23  40995  etransclem24  40996  etransclem44  41016  etransclem45  41017  perfectALTVlem2  42159
  Copyright terms: Public domain W3C validator