MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgmod 15323
Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 15322 and divalgb 15321). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6833 . . . . . 6 (𝑁 mod 𝐷) ∈ V
21snid 4345 . . . . 5 (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}
3 eleq1 2819 . . . . 5 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
42, 3mpbiri 248 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
5 elsni 4330 . . . 4 (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
64, 5impbii 199 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
7 zre 11565 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnrp 12027 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
9 modlt 12865 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
107, 8, 9syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
11 nnre 11211 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
12 nnne0 11237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
13 redivcl 10928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
147, 11, 12, 13syl3an 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
15143anidm23 1526 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
1615flcld 12785 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
17 nnz 11583 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
1817adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
19 zmodcl 12876 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11664 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
21 zsubcl 11603 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
2220, 21syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23 nncn 11212 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
2516zcnd 11667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2624, 25mulcomd 10245 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
27 modval 12856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
287, 8, 27syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
2919nn0cnd 11537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30 zmulcl 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
3117, 16, 30syl2an2 910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
3231zcnd 11667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
33 zcn 11566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3529, 32, 34subexsub 10633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
3628, 35mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3726, 36eqtr3d 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38 dvds0lem 15186 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3916, 18, 22, 37, 38syl31anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40 divalg2 15322 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
41 breq1 4799 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
42 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
4342breq2d 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
4441, 43anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
4544riota2 6788 . . . . . . . . 9 (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
4619, 40, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
4710, 39, 46mpbi2and 994 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
4847eqcomd 2758 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))))
4948sneqd 4325 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
50 snriota 6796 . . . . . 6 (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5140, 50syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5249, 51eqtr4d 2789 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))})
5352eleq2d 2817 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))}))
546, 53syl5bb 272 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))}))
55 breq1 4799 . . . 4 (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷𝑅 < 𝐷))
56 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑧 = 𝑅 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑅))
5756breq2d 4808 . . . 4 (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
5855, 57anbi12d 749 . . 3 (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
5958elrab 3496 . 2 (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
6054, 59syl6bb 276 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  ∃!wreu 3044  {crab 3046  {csn 4313   class class class wbr 4796  cfv 6041  crio 6765  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125   < clt 10258  cmin 10450   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  +crp 12017  cfl 12777   mod cmo 12854  cdvds 15174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175
This theorem is referenced by:  divalgmodcl  15325
  Copyright terms: Public domain W3C validator