MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 15354
Description: Lemma for divalg 15356. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem9.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟,𝑥   𝑁,𝑟,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem8.2 . . . . 5 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem8.3 . . . . 5 𝐷 ≠ 0
5 divalglem8.4 . . . . 5 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 15348 . . . 4 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2849 . . 3 𝑅𝑆
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 15350 . . . 4 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
98simpri 474 . . 3 𝑅 < (abs‘𝐷)
10 breq1 4800 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑅 < (abs‘𝐷)))
1110rspcev 3465 . . 3 ((𝑅𝑆𝑅 < (abs‘𝐷)) → ∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷))
127, 9, 11mp2an 673 . 2 𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
13 oveq2 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1413breq2d 4809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1514, 5elrab2 3524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1615simplbi 486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℕ0)
1716nn0zd 11704 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
18 oveq2 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑦 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑦))
1918breq2d 4809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑦 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2019, 5elrab2 3524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2120simplbi 486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11704 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
23 zsubcl 11643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
242, 23mpan 671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
25 zsubcl 11643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
262, 25mpan 671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
2724, 26anim12i 601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2817, 22, 27syl2an 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2915simprbi 485 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑥))
3020simprbi 485 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑦))
3129, 30anim12i 601 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
32 dvds2sub 15247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
333, 32mp3an1 1562 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
35 zcn 11606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36 zcn 11606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
372zrei 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 ∈ ℝ
3837recni 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 ∈ ℂ
3938subidi 10575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 − (𝑥𝑦))
41 0cn 10255 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
42 subsub2 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4341, 42mp3an1 1562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4440, 43syl5eq 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
45 sub4 10549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
4638, 38, 45mpanl12 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
47 subcl 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4847ancoms 447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4948addid2d 10460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦𝑥)) = (𝑦𝑥))
5044, 46, 493eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5135, 36, 50syl2an 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5217, 22, 51syl2an 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5352breq2d 4809 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑦𝑥)))
5434, 53mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ (𝑦𝑥))
55 zsubcl 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
5655ancoms 447 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
57 absdvdsb 15231 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
583, 56, 57sylancr 576 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
5917, 22, 58syl2an 584 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
6054, 59mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥))
61 nnabscl 14295 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
623, 4, 61mp2an 673 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
6362nnzi 11625 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
64 divides 15213 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6563, 56, 64sylancr 576 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6617, 22, 65syl2an 584 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6760, 66mpbid 223 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
6867adantr 467 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
692, 3, 4, 5divalglem8 15353 . . . . . 6 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
7069rexlimdv 3182 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → 𝑥 = 𝑦)
7271ex 398 . . 3 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦))
7372rgen2a 3129 . 2 𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)
74 breq1 4800 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑦 < (abs‘𝐷)))
7574reu4 3558 . 2 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ (∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)))
7612, 73, 75mpbir2an 691 1 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  {crab 3068   class class class wbr 4797  cfv 6042  (class class class)co 6812  infcinf 8524  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159   + caddc 10162   · cmul 10164   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  abscabs 14204  cdvds 15211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-sup 8525  df-inf 8526  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-rp 12053  df-fz 12556  df-seq 13031  df-exp 13090  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-dvds 15212
This theorem is referenced by:  divalglem10  15355
  Copyright terms: Public domain W3C validator