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Theorem divalglem6 15168
Description: Lemma for divalg 15173. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11421 . . 3 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10078 . . 3 0 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 10189 . 2 (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6 0z 11426 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ
87nnzi 11439 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℤ
9 elfzm11 12449 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)))
106, 8, 9mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴))
115, 10mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)
1211simp3i 1092 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐴
1311simp1i 1090 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ ℤ
1413zrei 11421 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ ℝ
157nnrei 11067 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
162, 15remulcli 10092 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
1714, 15, 16ltadd1i 10620 . . . . . . 7 (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
1812, 17mpbi 220 . . . . . 6 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
192renegcli 10380 . . . . . . . 8 -𝐾 ∈ ℝ
207nnnn0i 11338 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2120nn0ge0i 11358 . . . . . . . . 9 0 ≤ 𝐴
22 lemulge12 10924 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2322an4s 886 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2415, 21, 23mpanl12 718 . . . . . . . 8 ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2519, 24mpan 706 . . . . . . 7 (1 ≤ -𝐾𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26 lt0neg1 10572 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28 znegcl 11450 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℤ
30 zltp1le 11465 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
316, 29, 30mp2an 708 . . . . . . . . 9 (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32 0p1e1 11170 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 4692 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3431, 33bitri 264 . . . . . . . 8 (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3527, 34bitri 264 . . . . . . 7 (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
362recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
3715recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
3836, 37mulneg1i 10514 . . . . . . . . . . 11 (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
3938oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
4016recni 10090 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
4137, 40subnegi 10398 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4239, 41eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4342breq1i 4692 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4419, 15remulcli 10092 . . . . . . . . 9 (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45 suble0 10580 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
4615, 44, 45mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4743, 46bitr3i 266 . . . . . . 7 ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4825, 35, 473imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4914, 16readdcli 10091 . . . . . . 7 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5015, 16readdcli 10091 . . . . . . 7 (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5149, 50, 3ltletri 10203 . . . . . 6 (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 696 . . . . 5 (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5349, 3ltnlei 10196 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5452, 53sylib 208 . . . 4 (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55 elfzle1 12382 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5654, 55nsyl 135 . . 3 (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57 zltp1le 11465 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
586, 1, 57mp2an 708 . . . . . . . 8 (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
5932breq1i 4692 . . . . . . . 8 ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
6058, 59bitri 264 . . . . . . 7 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61 lemulge12 10924 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6215, 2, 61mpanl12 718 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6321, 62mpan 706 . . . . . . 7 (1 ≤ 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6460, 63sylbi 207 . . . . . 6 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6511simp2i 1091 . . . . . . 7 0 ≤ 𝑋
66 addge02 10577 . . . . . . . 8 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
6716, 14, 66mp2an 708 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
6865, 67mpbi 220 . . . . . 6 (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
6915, 16, 49letri 10204 . . . . . 6 ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7064, 68, 69sylancl 695 . . . . 5 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7115, 49lenlti 10195 . . . . 5 (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7270, 71sylib 208 . . . 4 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73 elfzm11 12449 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
746, 8, 73mp2an 708 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
7574simp3bi 1098 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7672, 75nsyl 135 . . 3 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
7756, 76jaoi 393 . 2 ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
784, 77sylbi 207 1 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  divalglem7  15169
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