MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 15167
Description: Lemma for divalg 15173. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem5.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 𝐷 ≠ 0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 15165 . . . . . 6 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2726 . . . . 5 𝑅𝑆
8 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
98breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
10 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1110breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1211cbvrabv 3230 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
135, 12eqtri 2673 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
149, 13elrab2 3399 . . . . 5 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
157, 14mpbi 220 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅))
1615simpli 473 . . 3 𝑅 ∈ ℕ0
1716nn0ge0i 11358 . 2 0 ≤ 𝑅
18 nnabscl 14109 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
193, 4, 18mp2an 708 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
2019nngt0i 11092 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
21 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 zcn 11420 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℂ
2423abscli 14178 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
2521, 24ltnlei 10196 . . . . 5 (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
2620, 25mpbi 220 . . . 4 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
27 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} ⊆ ℕ0
285, 27eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℕ0
29 nn0uz 11760 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3028, 29sseqtri 3670 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
31 nn0abscl 14096 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
33 nn0sub2 11476 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3432, 16, 33mp3an12 1454 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3515a1i 11 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
36 nn0z 11438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
37 1z 11445 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
382, 3divalglem0 15163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3937, 38mpan2 707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
4024recni 10090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4140mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
4241oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
4342oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
4443breq2i 4693 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4539, 44syl6ib 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4746imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4835, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
49 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
5049breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5150, 13elrab2 3399 . . . . . . . 8 ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5234, 48, 51sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
53 infssuzle 11809 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5430, 52, 53sylancr 696 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
551, 54syl5eqbr 4720 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5635simpld 474 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℕ0)
57 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ)
59 lesub 10545 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6024, 59mp3an3 1453 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6158, 58, 60syl2anc 694 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6258recnd 10106 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℂ)
6362subidd 10418 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅𝑅) = 0)
6463breq2d 4697 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6561, 64bitrd 268 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6655, 65mpbid 222 . . . 4 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
6726, 66mto 188 . . 3 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
6816, 57ax-mp 5 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
6968, 24ltnlei 10196 . . 3 (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
7067, 69mpbir 221 . 2 𝑅 < (abs‘𝐷)
7117, 70pm3.2i 470 1 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  abscabs 14018  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  divalglem9  15171
  Copyright terms: Public domain W3C validator