Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 15341
 Description: Lemma for divalg 15348. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 nn0z 11612 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
4 zsubcl 11631 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 698 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
6 divides 15204 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
71, 5, 6sylancr 698 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
8 nn0cn 11514 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
9 zmulcl 11638 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
101, 9mpan2 709 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
1110zcnd 11695 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12 zcn 11594 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
14 subadd 10496 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
1513, 14mp3an1 1560 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16 addcom 10434 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
1716eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
1815, 17bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
198, 11, 18syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20 eqcom 2767 . . . . . . 7 ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧))
21 eqcom 2767 . . . . . . 7 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
2219, 20, 213bitr3g 302 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2322rexbidva 3187 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
247, 23bitrd 268 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2524pm5.32i 672 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑧))
2726breq2d 4816 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
28 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2927, 28elrab2 3507 . . 3 (𝑧𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
30 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
3130eqeq2d 2770 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3231rexbidv 3190 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3332elrab 3504 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3425, 29, 333bitr4i 292 . 2 (𝑧𝑆𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
3534eqriv 2757 1 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589   ∥ cdvds 15202 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-dvds 15203 This theorem is referenced by:  divalglem10  15347
 Copyright terms: Public domain W3C validator