Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem2 15291
 Description: Lemma for divalg 15299. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2 ssrab2 3816 . . . 4 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} ⊆ ℕ0
31, 2eqsstri 3764 . . 3 𝑆 ⊆ ℕ0
4 nn0uz 11886 . . 3 0 = (ℤ‘0)
53, 4sseqtri 3766 . 2 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
6 divalglem0.1 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℤ
7 divalglem0.2 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
8 zmulcl 11589 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
96, 7, 8mp2an 710 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
10 nn0abscl 14222 . . . . . . . 8 ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
1211nn0zi 11565 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
13 zaddcl 11580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
146, 12, 13mp2an 710 . . . . 5 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
15 divalglem1.3 . . . . . 6 𝐷 ≠ 0
166, 7, 15divalglem1 15290 . . . . 5 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
17 elnn0z 11553 . . . . 5 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
1814, 16, 17mpbir2an 993 . . . 4 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
19 iddvds 15168 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
20 dvdsabsb 15174 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2120anidms 680 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
237, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
24 nn0abscl 14222 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
256, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
2625nn0negzi 11579 . . . . . . 7 -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
27 nn0abscl 14222 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
2928nn0zi 11565 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
30 dvdsmultr2 15194 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
317, 26, 29, 30mp3an 1561 . . . . . 6 (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
3223, 31ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
33 zcn 11545 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
35 zcn 11545 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
367, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3734, 36absmuli 14313 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
3837negeqi 10437 . . . . . 6 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
39 df-neg 10432 . . . . . . 7 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4034subidi 10515 . . . . . . . 8 (𝑁𝑁) = 0
4140oveq1i 6811 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4211nn0cni 11467 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
43 subsub4 10477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
4434, 34, 42, 43mp3an 1561 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4539, 41, 443eqtr2ri 2777 . . . . . 6 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
4634abscli 14304 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℝ
4746recni 10215 . . . . . . 7 (abs‘𝑁) ∈ ℂ
4836abscli 14304 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
4948recni 10215 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
5047, 49mulneg1i 10639 . . . . . 6 (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5138, 45, 503eqtr4i 2780 . . . . 5 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5232, 51breqtrri 4819 . . . 4 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
53 oveq2 6809 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
5453breq2d 4804 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5554, 1elrab2 3495 . . . 4 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5618, 52, 55mpbir2an 993 . . 3 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
5756ne0ii 4054 . 2 𝑆 ≠ ∅
58 infssuzcl 11936 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
595, 57, 58mp2an 710 1 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  {crab 3042   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  infcinf 8500  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237   ≤ cle 10238   − cmin 10429  -cneg 10430  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540  ℤ≥cuz 11850  abscabs 14144   ∥ cdvds 15153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154 This theorem is referenced by:  divalglem5  15293  divalglem9  15297
 Copyright terms: Public domain W3C validator