MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgb 15334
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 15333 in terms of . (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁𝑟) ∈ ℤ)
2 divides 15190 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
31, 2sylan2 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
433impb 1106 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
543com12 1116 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
6 zcn 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 zcn 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
8 zmulcl 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
98zcnd 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
10 subadd 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
116, 7, 9, 10syl3an 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
12 addcom 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
137, 9, 12syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
14133adant1 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1514eqeq1d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
1611, 15bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
17 eqcom 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟))
18 eqcom 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1916, 17, 183bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
20193expia 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2120expcomd 402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))))
22213impia 1108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2322imp 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2423rexbidva 3196 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
25243com23 1119 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
265, 25bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2726anbi2d 606 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
28 df-3an 1072 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2928rexbii 3188 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
30 r19.42v 3239 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3129, 30bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3227, 31syl6rbbr 279 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
33 anass 459 . . . . . 6 (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
3432, 33syl6bb 276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
35343expa 1110 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
3635reubidva 3273 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
37 elnn0z 11591 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3837anbi1i 602 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
39 anass 459 . . . . . 6 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4038, 39bitri 264 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4140eubii 2639 . . . 4 (∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
42 df-reu 3067 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
43 df-reu 3067 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4441, 42, 433bitr4ri 293 . . 3 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
4536, 44syl6bb 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
46453adant3 1125 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  ∃!weu 2617  wne 2942  wrex 3061  ∃!wreu 3062   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  0cn0 11493  cz 11578  abscabs 14181  cdvds 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-dvds 15189
This theorem is referenced by:  divalg2  15335
  Copyright terms: Public domain W3C validator