MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div0d 10838
Description: Division into zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
div0d (𝜑 → (0 / 𝐴) = 0)

Proof of Theorem div0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 div0 10753 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (0 / 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  11970  bcval5  13145  ef0lem  14853  phiprmpw  15528  pceulem  15597  pcqmul  15605  pcqcl  15608  pcaddlem  15639  pcadd  15640  prmreclem4  15670  nmoleub2lem2  22962  mbfi1fseqlem3  23529  itgz  23592  ibl0  23598  iblss2  23617  itgss  23623  dvconst  23725  dvcobr  23754  plyeq0lem  24011  elqaalem3  24121  aareccl  24126  logb1  24552  birthdaylem3  24725  basellem4  24855  logexprlim  24995  chpo1ubb  25215  rpvmasumlem  25221  cndprobnul  30627  cvmliftlem7  31399  cvmliftlem10  31402  cvmliftlem13  31404  faclim  31758  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  areacirclem4  33633  pellexlem6  37715  reglog1  37777  stoweidlem36  40571  fourierdlem30  40672  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  elaa2lem  40768  etransclem24  40793
  Copyright terms: Public domain W3C validator