MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgsplitlem 23844
Description: Lemma for ditgsplit 23845. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12443 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1136 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ditgsplit.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 elicc2 12443 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
112, 3, 10syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
129, 11mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1312simp1d 1136 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16 elicc2 12443 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
172, 3, 16syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
1815, 17mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1918simp1d 1136 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝜓𝜃))
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2321, 22sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2423simpld 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐵)
2523simprd 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵𝐶)
26 elicc2 12443 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
277, 13, 26syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2827adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1427 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
302rexrd 10295 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
316simp2d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
32 iooss1 12415 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
343rexrd 10295 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
3512simp3d 1138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
36 iooss2 12416 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐶𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3833, 37sstrd 3762 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3938sselda 3752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41 iblmbf 23754 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43 ditgsplit.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
4442, 43mbfmptcl 23624 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4539, 44syldan 579 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4645adantlr 694 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47 iooss1 12415 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4830, 31, 47syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4918simp3d 1138 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑌)
50 iooss2 12416 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5134, 49, 50syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5248, 51sstrd 3762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53 ioombl 23553 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5552, 54, 43, 40iblss 23791 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5655adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5718simp2d 1137 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
58 iooss1 12415 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
5930, 57, 58syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
6059, 37sstrd 3762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61 ioombl 23553 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
6360, 62, 43, 40iblss 23791 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
6463adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 23824 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
668, 20, 14, 24, 25letrd 10400 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐶)
6766ditgpos 23840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
6824ditgpos 23840 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
6925ditgpos 23840 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7068, 69oveq12d 6814 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
7165, 67, 703eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
7271anassrs 453 1 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141   + caddc 10145  *cxr 10279  cle 10281  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  volcvol 23451  MblFncmbf 23602  𝐿1cibl 23605  citg 23606  cdit 23830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-ditg 23831
This theorem is referenced by:  ditgsplit  23845
  Copyright terms: Public domain W3C validator