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Theorem ditgsplit 23845
Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 23823, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12443 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1136 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12443 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1136 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
137adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15 elicc2 12443 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
162, 3, 15syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
1714, 16mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1817simp1d 1136 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 251 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 23844 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
2625adantlr 694 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
27 biid 251 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 23844 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
2928oveq1d 6811 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
3330, 31, 32addassd 10268 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 23843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
3534oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
3631negidd 10588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
3735, 36eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
3837oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
3930addid1d 10442 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4033, 38, 393eqtrd 2809 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4140ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4229, 41eqtr2d 2806 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4342adantllr 698 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4420, 21, 26, 43lecasei 10349 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4540ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
46 ancom 448 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) ↔ (𝐶𝐴𝐴𝐵))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 23844 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
4847oveq2d 6812 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 23843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
5049oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
5130negidd 10588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
5250, 51eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
5352oveq1d 6811 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
5630, 54, 55addassd 10268 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
5755addid2d 10443 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5853, 56, 573eqtr3d 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5958ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6048, 59eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6160oveq1d 6811 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6245, 61eqtr3d 2807 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6313, 19, 44, 62lecasei 10349 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
647adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66 biid 251 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 23844 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
6867oveq2d 6812 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 23843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
7069oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
7155negidd 10588 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
7270, 71eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
7372oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 23842 . . . . . . 7 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
7555, 74, 30addassd 10268 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
7630addid2d 10443 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7773, 75, 763eqtr3d 2813 . . . . 5 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7877ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7968, 78eqtr2d 2806 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
8012ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82 ancom 448 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 23844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8483oveq1d 6811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
8532, 54, 30addassd 10268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 23843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥)
8786oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8854negidd 10588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
8987, 88eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
9089oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
9132addid1d 10442 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9285, 90, 913eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9392ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9484, 93eqtr2d 2806 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
9594oveq2d 6812 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
9677ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
9795, 96eqtr2d 2806 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
9897adantllr 698 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
99 ancom 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 23844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
101100oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
10231, 74, 55addassd 10268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 23843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥)
104103oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
10574negidd 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106104, 105eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107106oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
10831addid1d 10442 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
109102, 107, 1083eqtrd 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
110109ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
111101, 110eqtr2d 2806 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
112111oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
11358ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
114112, 113eqtr2d 2806 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
115114oveq1d 6811 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11640ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
117115, 116eqtr2d 2806 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
118117adantlr 694 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11980, 81, 98, 118lecasei 10349 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
12064, 65, 79, 119lecasei 10349 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
1217, 12, 63, 120lecasei 10349 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cmpt 4864  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   + caddc 10145  cle 10281  -cneg 10473  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  𝐿1cibl 23605  cdit 23830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-ditg 23831
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  24031
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