MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgneg 23840
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1 (𝜑𝐴𝐵)
ditgneg.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgneg (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21biantrurd 516 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
3 ditgneg.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ditgneg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4letri3d 10380 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
62, 5bitr4d 271 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
7 ditg0 23836 . . . . 5 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8 neg0 10528 . . . . 5 -0 = 0
97, 8eqtr4i 2795 . . . 4 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10 ditgeq2 23832 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥)
11 oveq1 6799 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12 iooid 12407 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐵) = ∅
1311, 12syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14 itgeq1 23758 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16 itg0 23765 . . . . . 6 ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
1715, 16syl6eq 2820 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
1817negeqd 10476 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
199, 10, 183eqtr4a 2830 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
206, 19syl6bi 243 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21 df-ditg 23830 . . 3 ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22 iffalse 4232 . . 3 𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2321, 22syl5eq 2816 . 2 𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2420, 23pm2.61d1 172 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  c0 4061  ifcif 4223   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  cle 10276  -cneg 10468  (,)cioo 12379  citg 23605  cdit 23829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-xmet 19953  df-met 19954  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607  df-itg2 23608  df-itg 23610  df-0p 23656  df-ditg 23830
This theorem is referenced by:  ditgcl  23841  ditgswap  23842
  Copyright terms: Public domain W3C validator