Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgcl 23841
 Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgcl.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
ditgcl.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgcl (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12451 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1137 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgcl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12451 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1137 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1413ditgpos 23839 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
152rexrd 10301 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
166simp2d 1138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
17 iooss1 12423 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
193rexrd 10301 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
2011simp3d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
21 iooss2 12424 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2219, 20, 21syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2318, 22sstrd 3754 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
2423sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
25 ditgcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶𝑉)
2624, 25syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶𝑉)
27 ioombl 23553 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
29 ditgcl.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3023, 28, 25, 29iblss 23790 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
3126, 30itgcl 23769 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3231adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
3314, 32eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
34 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
3512adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
367adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3734, 35, 36ditgneg 23840 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
3811simp2d 1138 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
39 iooss1 12423 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
4015, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝐴))
416simp3d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑌)
42 iooss2 12424 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐴𝑌) → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4319, 41, 42syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4440, 43sstrd 3754 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4544sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
4645, 25syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)) → 𝐶𝑉)
47 ioombl 23553 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐴) ∈ dom vol)
4944, 48, 25, 29iblss 23790 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5046, 49itgcl 23769 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5150negcld 10591 . . . 4 (𝜑 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5251adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
5337, 52eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
547, 12, 33, 53lecasei 10355 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287  -cneg 10479  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  ∫citg 23606  ⨜cdit 23829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-xmet 19961  df-met 19962  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-ditg 23830 This theorem is referenced by:  ditgsplit  23844  itgsubstlem  24030
 Copyright terms: Public domain W3C validator