Theorem disjsn2 4384

Description: Two distinct singletons are disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4333	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2777	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
3	2	necon3ai 2968	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4		disjsn 4383	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5	3, 4	sylibr 224	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∩ cin 3722  ∅c0 4063  {csn 4316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-v 3353  df-dif 3726  df-in 3730  df-nul 4064  df-sn 4317

This theorem is referenced by:  disjpr2  4385  disjtpsn  4387  difprsn1  4466  otsndisj  5112  xpsndisj  5698  funprg  6083  funtp  6086  funcnvpr  6091  f1oprg  6322  phplem1  8295  djuin  8944  pm54.43  9026  pr2nelem  9027  f1oun2prg  13871  s3sndisj  13916  sumpr  14685  cshwsdisj  16012  setsfun0  16101  setscom  16110  xpsc0  16428  xpsc1  16429  dmdprdpr  18656  dprdpr  18657  ablfac1eulem  18679  cnfldfun  19973  m2detleib  20655  dishaus  21407  dissnlocfin  21553  xpstopnlem1  21833  perfectlem2  25176  prodpr  29912  esumpr  30468  esum2dlem  30494  prodfzo03  31021  onint1  32785  bj-disjsn01  33269  poimirlem26  33768  sumpair  39716  perfectALTVlem2  42159  gsumpr  42667