Theorem disjsn2 4224

Description: Two distinct singletons are disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4172	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2627	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
3	2	necon3ai 2815	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4		disjsn 4223	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5	3, 4	sylibr 224	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∩ cin 3559  ∅c0 3897  {csn 4155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-v 3192  df-dif 3563  df-in 3567  df-nul 3898  df-sn 4156

This theorem is referenced by:  disjpr2  4225  disjpr2OLD  4226  disjtpsn  4228  difprsn1  4306  diftpsn3OLD  4309  otsndisj  4949  xpsndisj  5526  funprg  5908  funprgOLD  5909  funtp  5913  funcnvpr  5918  f1oprg  6148  phplem1  8099  pm54.43  8786  pr2nelem  8787  f1oun2prg  13614  s3sndisj  13656  sumpr  14426  cshwsdisj  15748  setsfun0  15834  setscom  15843  xpsc0  16160  xpsc1  16161  dmdprdpr  18388  dprdpr  18389  ablfac1eulem  18411  cnfldfun  19698  m2detleib  20377  dishaus  21126  dissnlocfin  21272  xpstopnlem1  21552  perfectlem2  24889  esumpr  29951  esum2dlem  29977  onint1  32143  bj-disjsn01  32637  poimirlem26  33106  sumpair  38716  perfectALTVlem2  40956  gsumpr  41457